а) Решите уравнение 2 sin x cos² x - √2 sin 2x + sin x = 0.

Решение:

Преобразуем уравнение, используя формулу синуса двойного угла \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \).

Уравнение примет вид:

\[ 2 \sin x \cos^2 x - \sqrt{2} (2 \sin x \cos x) + \sin x = 0 \]\[ 2 \sin x \cos^2 x - 2\sqrt{2} \sin x \cos x + \sin x = 0 \]

Вынесем \( \sin x \) за скобки:

\[ \sin x (2 \cos^2 x - 2\sqrt{2} \cos x + 1) = 0 \]

Это произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Случай 1: \( \sin x = 0 \)

Корни этого уравнения:

\[ x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Случай 2: \( 2 \cos^2 x - 2\sqrt{2} \cos x + 1 = 0 \)

Это квадратное уравнение относительно \( \cos x \). Обозначим \( y = \cos x \). Тогда:

\[ 2y^2 - 2\sqrt{2} y + 1 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = (2\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 8 - 8 = 0 \]

Уравнение имеет один корень:

\[ y = \frac{2\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Следовательно, \( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Корни этого уравнения:

\[ x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Объединяя корни обоих случаев, получаем:

\[ x = \pi k, \quad x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \pi k \), \( x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n \), \( k, n \in \mathbb{Z} \).