а) Решите уравнение: (2cosx+1)(√-sinx - 1) = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0; 3π/2].

Решение:

а) Решим уравнение:

Уравнение \( (2\cos x + 1)(\sqrt{-\sin x} - 1) = 0 \) равносильно совокупности двух уравнений:

1. \( 2\cos x + 1 = 0 \)
2. \( \sqrt{-\sin x} - 1 = 0 \)

Решим первое уравнение:

\( 2\cos x + 1 = 0 \)

\( 2\cos x = -1 \)

\( \cos x = -1/2 \)

Корни этого уравнения:

\( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

Решим второе уравнение:

\( \sqrt{-\sin x} - 1 = 0 \)

\( \sqrt{-\sin x} = 1 \)

Возведём обе части в квадрат:

\( -\sin x = 1 \)

\( \sin x = -1 \)

Корни этого уравнения:

\( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.

б) Найдем корни, принадлежащие отрезку \( [0; 3\pi/2] \):

Рассмотрим корни первого уравнения \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \) на отрезке \( [0; 3\pi/2] \) (где \( 3\pi/2 = 4.71 \)):

• При \( k = 0 \): \( x = 2\pi/3 \) (принадлежит отрезку), \( x = -2\pi/3 \) (не принадлежит отрезку).
• При \( k = 1 \): \( x = 2\pi/3 + 2\pi = 8\pi/3 \) (не принадлежит отрезку), \( x = -2\pi/3 + 2\pi = 4\pi/3 \) (принадлежит отрезку).

Рассмотрим корни второго уравнения \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \) на отрезке \( [0; 3\pi/2] \):

• При \( n = 0 \): \( x = -\pi/2 \) (не принадлежит отрезку).
• При \( n = 1 \): \( x = -\pi/2 + 2\pi = 3\pi/2 \) (принадлежит отрезку).

Проверим условие существования квадратного корня \( \sqrt{-\sin x} \). Необходимо, чтобы \( -\sin x \ge 0 \), то есть \( \sin x \le 0 \). На отрезке \( [0; 3\pi/2] \) это условие выполняется для \( x \in [\pi; 3\pi/2] \).

Проверим найденные корни:

• \( x = 2\pi/3 \): \( \sin(2\pi/3) = \sqrt{3}/2 > 0 \). Значит, этот корень не подходит из-за условия \( \sin x \le 0 \).
• \( x = 4\pi/3 \): \( \sin(4\pi/3) = -\sqrt{3}/2 \le 0 \). Этот корень подходит.
• \( x = 3\pi/2 \): \( \sin(3\pi/2) = -1 \le 0 \). Этот корень подходит.

Таким образом, на заданном отрезке уравнение имеет два корня.

Ответ: а) \( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \) и \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( k, n \) — целые числа.

б) \( \frac{4\pi}{3}; \frac{3\pi}{2} \).