а) Решите уравнение 2sin(x + π/4) + 2√2sin(π + x) = 0.

Решение:

1. Упростим второе слагаемое, используя формулу синуса суммы: \( \sin(\pi + x) = \sin(\pi)\cos(x) + \cos(\pi)\sin(x) = 0 \cdot \cos(x) + (-1) \cdot \sin(x) = -\sin(x) \).
2. Подставим упрощённое выражение в уравнение: \( 2\sin(x + \frac{\pi}{4}) + 2\sqrt{2}(-\sin(x)) = 0 \).
3. Разделим обе части уравнения на 2: \( \sin(x + \frac{\pi}{4}) - \sqrt{2}\sin(x) = 0 \).
4. Раскроем скобки, используя формулу синуса суммы: \( \sin(x)\cos(\frac{\pi}{4}) + \cos(x)\sin(\frac{\pi}{4}) - \sqrt{2}\sin(x) = 0 \).
5. Подставим значения \( \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \): \( \sin(x) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos(x) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2}\sin(x) = 0 \).
6. Умножим все члены уравнения на \( \frac{2}{\sqrt{2}} \) для упрощения: \( \sin(x) + \cos(x) - 2\sin(x) = 0 \).
7. Приведём подобные члены: \( \cos(x) - \sin(x) = 0 \).
8. Перенесём \( \sin(x) \) в правую часть: \( \cos(x) = \sin(x) \).
9. Разделим обе части на \( \cos(x) \) (при условии \( \cos(x) \neq 0 \), что верно, так как если \( \cos(x) = 0 \), то \( \sin(x) = \pm 1 \), и равенство \( 0 = \pm 1 \) не выполняется): \( 1 = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \), то есть \( \tan(x) = 1 \).
10. Решим уравнение \( \tan(x) = 1 \): \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).