а) Решите уравнение \(3\cos 2x+7\sin x+2=0\); б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{5\pi}{2};\,-\pi\right]\).

а) Используем формулу \(\cos 2x=1-2\sin^2 x\):

\(3(1-2\sin^2 x)+7\sin x+2=0\).

После упрощения получаем \(6\sin^2 x-7\sin x-5=0\).

Решаем квадратное уравнение относительно \(\sin x\): \(\sin x=\frac53\) или \(\sin x=-\frac12\). Значение \(\frac53\) невозможно для синуса.

Поэтому \(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k\) или \(x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \(\left[-\frac{5\pi}{2};-\pi\right]\) из этих решений лежит только \(-\frac{13\pi}{6}\).

Ответ: а) \(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k\) или \(x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\); б) \(-\frac{13\pi}{6}\).