a) Решите уравнение 3cos2x+11sinx+4=0

Решение:

1. Используем формулу косинуса двойного угла:
   cos2x = 1 - 2sin²x.
   Подставляем в исходное уравнение:
   \[ 3(1 - 2\sin^2x) + 11\sin x + 4 = 0 \]
2. Раскрываем скобки и приводим подобные члены:
   \[ 3 - 6\sin^2x + 11\sin x + 4 = 0 \]
   \[ -6\sin^2x + 11\sin x + 7 = 0 \]
3. Вводим замену переменной:
   Пусть t = sin x. Тогда уравнение примет вид:
   \[ -6t^2 + 11t + 7 = 0 \]
4. Решаем квадратное уравнение относительно t:
   Дискриминант D = b² - 4ac = 11² - 4(-6)(7) = 121 + 168 = 289.
   t₁ = \(\frac{-11 + \sqrt{289}}{2 · (-6)}\) = \(\frac{-11 + 17}{-12}\) = \(\frac{6}{-12}\) = -0.5.
   t₂ = \(\frac{-11 - \sqrt{289}}{2 · (-6)}\) = \(\frac{-11 - 17}{-12}\) = \(\frac{-28}{-12}\) = \(\frac{7}{3}\).
5. Возвращаемся к замене переменной:
   sin x = -0.5
   sin x = 7/3
   Так как значение синуса не может быть больше 1 или меньше -1, то sin x = 7/3 не имеет решений.
   Решаем sin x = -0.5.
   x = (-1)ⁿ⁺¹ arcsin(0.5) + \(πn\), где n ∈ Z.
   x = (-1)ⁿ⁺¹ \(\frac{π}{6}\) + \(πn\), где n ∈ Z.

Ответ: x = (-1)ⁿ⁺¹ \(\frac{π}{6}\) + \(πn\), где n ∈ Z.