а) Решите уравнение (6cos²x-11cosx + 4)·√-3 sin x = 0.

Решение:

Данное уравнение представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Это означает, что хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. Рассмотрим каждый множитель отдельно:

• Множитель 1: \(6\cos^2 x - 11\cos x + 4 = 0\)
• Множитель 2: \(\sqrt{-3 \sin x} = 0\)

Анализ Множителя 1:

Это квадратное уравнение относительно \(\cos x\). Сделаем замену: \(y = \cos x\). Тогда уравнение примет вид:

\[6y^2 - 11y + 4 = 0\]

Найдем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 4 = 121 - 96 = 25\]

Найдем корни \(y\):

\[y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{11 \pm 5}{12}\]

• \[y_1 = \frac{11 + 5}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}\]
• \[y_2 = \frac{11 - 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\]

Теперь вернемся к замене \(y = \cos x\):

• \(\cos x = \frac{4}{3}\). Это уравнение не имеет решений, так как \(\frac{4}{3} > 1\), а область значений косинуса — \([-1; 1]\).
• \(\cos x = \frac{1}{2}\). Это уравнение имеет решения вида: \(x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).

Анализ Множителя 2:

\(\sqrt{-3 \sin x} = 0\)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[-3 \sin x = 0\]

Отсюда следует:

\[\sin x = 0\]

Это уравнение имеет решения вида: \(x = \pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

Учет области определения:

Выражение под корнем \(-3 \sin x\) должно быть неотрицательным, то есть \(-3 \sin x \ge 0\). Делим на -3 и меняем знак неравенства:

\[\sin x \le 0\]

Это условие выполняется, когда \(x\) находится в интервалах \([-\pi + 2\pi k; 0 + 2\pi k]\), или, что то же самое, \([-\pi + 2\pi k; 2\pi k]\), где \(k \in \mathbb{Z}\).

Объединение решений:

Теперь нам нужно найти значения \(x\), которые удовлетворяют как \(\cos x = \frac{1}{2}\), так и \(\sin x = 0\), учитывая условие \(\sin x \le 0\).

• Из \(\cos x = \frac{1}{2}\) получаем \(x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k\) или \(x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k\).
• Из \(\sin x = 0\) получаем \(x = \pi n\).

Проверим, удовлетворяют ли решения \(x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k\) условию \(\sin x \le 0\).

• Для \(x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k\), \(\sin(\frac{\pi}{3} + 2\pi k) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Это значение больше 0, поэтому эти решения не подходят.
• Для \(x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k\), \(\sin(-\frac{\pi}{3} + 2\pi k) = \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Это значение меньше 0, поэтому эти решения подходят.

Теперь проверим, удовлетворяют ли решения \(x = \pi n\) условию \(\sin x \le 0\).

• При \(n\) — четном, \(n = 2m\), \(x = 2\pi m\). \(\sin(2\pi m) = 0\), что удовлетворяет \(\sin x \le 0\).
• При \(n\) — нечетном, \(n = 2m+1\), \(x = \pi (2m+1) = 2\pi m + \pi\). \(\sin(2\pi m + \pi) = 0\), что удовлетворяет \(\sin x \le 0\).

Таким образом, из \(\cos x = \frac{1}{2}\) подходят решения \(x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k\). Из \(\sin x = 0\) подходят все решения \(x = \pi n\), так как \(\sin x = 0\) всегда удовлетворяет \(\sin x \le 0\).

Однако, уравнение имеет вид \(A · B = 0\). Это значит, что либо \(A=0\) и \(B \ge 0\), либо \(B=0\) и \(A\) определено.

Случай 1: \(6\cos^2 x - 11\cos x + 4 = 0\) И \(\sqrt{-3 \sin x} = 0\).

Из \(\sqrt{-3 \sin x} = 0\) следует \(\sin x = 0\). Если \(\sin x = 0\), то \(\cos x = \pm 1\). Подставим в первое уравнение:

• Если \(\cos x = 1\): \(6(1)^2 - 11(1) + 4 = 6 - 11 + 4 = -1
  eq 0\).
• Если \(\cos x = -1\): \(6(-1)^2 - 11(-1) + 4 = 6 + 11 + 4 = 21
  eq 0\).

Значит, этот случай не дает решений.

Случай 2: \(\sqrt{-3 \sin x}
e 0\) (т.е. \(\sin x < 0\)) И \(6\cos^2 x - 11\cos x + 4 = 0\).

Из \(6\cos^2 x - 11\cos x + 4 = 0\) мы получили \(\cos x = \frac{4}{3}\) (нет решений) и \(\cos x = \frac{1}{2}\).

Если \(\cos x = \frac{1}{2}\), то \(x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k\).

Проверим условие \(\sin x < 0\):

• Для \(x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k\), \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0\). Не подходит.
• Для \(x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k\), \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0\). Подходит.

Таким образом, решения из этого случая: \(x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k\), \(k \in \mathbb{Z}\).

Случай 3: \(6\cos^2 x - 11\cos x + 4
eq 0\) И \(\sqrt{-3 \sin x} = 0\).

Из \(\sqrt{-3 \sin x} = 0\) следует \(\sin x = 0\). Это значит, что \(x = \pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\).

При \(x = \pi n\), \(\cos x = (-1)^n\).

Подставим в \(6\cos^2 x - 11\cos x + 4\):

• Если \(n\) — четное, \(n = 2m\), \(x = 2\pi m\), \(\cos x = 1\). \(6(1)^2 - 11(1) + 4 = -1
  eq 0\).
• Если \(n\) — нечетное, \(n = 2m+1\), \(x = (2m+1)\pi\), \(\cos x = -1\). \(6(-1)^2 - 11(-1) + 4 = 6 + 11 + 4 = 21
  eq 0\).

Значит, из этого случая решений нет.

Окончательные решения:

Единственными решениями исходного уравнения являются те, которые удовлетворяют \(\cos x = \frac{1}{2}\) и \(\sin x < 0\).

Следовательно, решения: \(x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k\), \(k \in \mathbb{Z}\).

Ответ: \(x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k\), \(k \in \mathbb{Z}\).