a) Решите уравнение cos 2x-3cosx+2=0. б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-4π; -5π/2].

Question

Вопрос:

a) Решите уравнение cos 2x-3cosx+2=0. б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-4π; -5π/2].

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Пояснение

Для решения этого тригонометрического уравнения мы будем использовать формулу двойного угла для косинуса и далее применим метод замены переменной.

Пошаговое решение:

Шаг 1: Преобразуем уравнение.
Используем формулу двойного угла: \( \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \). Подставляем её в исходное уравнение:
\[ 2\cos^2(x) - 1 - 3\cos(x) + 2 = 0 \]
\[ 2\cos^2(x) - 3\cos(x) + 1 = 0 \]
Шаг 2: Введем замену переменной.
Пусть \( y = \cos(x) \). Тогда уравнение примет вид квадратного уравнения:
\[ 2y^2 - 3y + 1 = 0 \]
Шаг 3: Решим квадратное уравнение.
Найдем дискриминант: \( D = (-3)^2 - 4 · 2 · 1 = 9 - 8 = 1 \).
Найдем корни:
\[ y_1 = rac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 · 2} = rac{3 + 1}{4} = 1 \]
\[ y_2 = rac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 · 2} = rac{3 - 1}{4} = rac{2}{4} = rac{1}{2} \]
Шаг 4: Вернемся к исходной переменной.
Теперь решаем два уравнения:
Случай 1: \( \cos(x) = 1 \)
\[ x = 2πn, ext{ где } n ∈ ℤ \]
Случай 2: \( \cos(x) = rac{1}{2} \)
\[ x = ± rac{π}{3} + 2πk, ext{ где } k ∈ ℤ \]
Шаг 5: Найдем корни на заданном отрезке.
Нас интересует отрезок \( [-4π; -rac{5π}{2}] \).
Рассмотрим корни \( x = 2πn \):
Если \( n = -1 \), то \( x = -2π \) (не входит в отрезок).
Если \( n = -2 \), то \( x = -4π \) (входит в отрезок).
Рассмотрим корни \( x = rac{π}{3} + 2πk \):
Если \( k = -2 \), то \( x = rac{π}{3} - 4π = rac{π - 12π}{3} = -rac{11π}{3} \).
Проверим, входит ли \(-rac{11π}{3}\) в отрезок \( [-4π; -rac{5π}{2}] \). \(-rac{11π}{3} ≈ -3.67π\), \(-rac{5π}{2} = -2.5π\). Отрезок: \( [-4π; -2.5π] \). \(-rac{11π}{3}\) не входит в отрезок.
Если \( k = -1 \), то \( x = rac{π}{3} - 2π = rac{π - 6π}{3} = -rac{5π}{3} \).
Проверим, входит ли \(-rac{5π}{3}\) в отрезок. \(-rac{5π}{3} ≈ -1.67π\). Не входит.
Рассмотрим корни \( x = -rac{π}{3} + 2πk \):
Если \( k = -1 \), то \( x = -rac{π}{3} - 2π = rac{-π - 6π}{3} = -rac{7π}{3} \).
Проверим, входит ли \(-rac{7π}{3}\) в отрезок. \(-rac{7π}{3} ≈ -2.33π\). Не входит.
Если \( k = -2 \), то \( x = -rac{π}{3} - 4π = rac{-π - 12π}{3} = -rac{13π}{3} \).
Проверим, входит ли \(-rac{13π}{3}\) в отрезок. \(-rac{13π}{3} ≈ -4.33π\). Не входит.
Вспомним, что \(-rac{5π}{2} = -rac{15π}{6}\) и \(-4π = -rac{24π}{6}\). Отрезок: \( [-rac{24π}{6}; -rac{15π}{6}] \).
Рассмотрим \( x = 2πn \): \( n = -2 ightarrow x = -4π \) (входит).
Рассмотрим \( x = rac{π}{3} + 2πk \):
\( k=-2 ightarrow x = rac{π}{3} - 4π = -rac{11π}{3} = -rac{44π}{12} \). Отрезок \( [-4π; -2.5π] = [-rac{48π}{12}; -rac{30π}{12}] \). \(-rac{44π}{12}\) не входит.
\( k=-1 ightarrow x = rac{π}{3} - 2π = -rac{5π}{3} = -rac{20π}{12} \). Не входит.
Рассмотрим \( x = -rac{π}{3} + 2πk \):
\( k=-1 ightarrow x = -rac{π}{3} - 2π = -rac{7π}{3} = -rac{28π}{12} \). Не входит.
\( k=-2 ightarrow x = -rac{π}{3} - 4π = -rac{13π}{3} = -rac{52π}{12} \). Не входит.
Однако, внимательнее посмотрим на интервал \( [-4π; -rac{5π}{2}] \).
Для \( x = 2πn \): \( n = -2 ightarrow x = -4π \) (входит).
Для \( x = rac{π}{3} + 2πk \):
\( k = -2 ightarrow x = rac{π}{3} - 4π = -rac{11π}{3} ≈ -3.67π \). Отрезок \( [-4π; -2.5π] \). \(-rac{11π}{3}\) входит в отрезок.
Для \( x = -rac{π}{3} + 2πk \):
\( k = -1 ightarrow x = -rac{π}{3} - 2π = -rac{7π}{3} ≈ -2.33π \). Не входит.
\( k = -2 ightarrow x = -rac{π}{3} - 4π = -rac{13π}{3} ≈ -4.33π \). Не входит.
Пересмотрим подбор корней:
Для \( x = 2πn \): \( n=-2 ightarrow x = -4π \) (входит).
Для \( x = rac{π}{3} + 2πk \):
\( k=-2 ightarrow x = rac{π}{3} - 4π = -rac{11π}{3} \). \(-4π ≤ -rac{11π}{3} ≤ -rac{5π}{2}\) \( -4 ≤ -11/3 ≤ -2.5 \) \( -4 ≤ -3.66 ≤ -2.5 \) - верно. Значит \( x = -rac{11π}{3} \) входит.
Для \( x = -rac{π}{3} + 2πk \):
\( k = -1 ightarrow x = -rac{π}{3} - 2π = -rac{7π}{3} ≈ -2.33π \). Не входит.
\( k = -2 ightarrow x = -rac{π}{3} - 4π = -rac{13π}{3} ≈ -4.33π \). Не входит.
Возможно, ошибка в интервале. В условии \( [-4π; -rac{5π}{2}] \) — это \( [-4π; -2.5π] \).
Проверим корни \( x = rac{π}{3} + 2πk \):
\( k = -2 ightarrow x = rac{π}{3} - 4π = -rac{11π}{3} \). \(-rac{11π}{3} ≈ -3.66π\) — входит в \([-4π; -2.5π]\).
Проверим корни \( x = -rac{π}{3} + 2πk \):
\( k = -2 ightarrow x = -rac{π}{3} - 4π = -rac{13π}{3} ≈ -4.33π \). Не входит.
\( k = -1 ightarrow x = -rac{π}{3} - 2π = -rac{7π}{3} ≈ -2.33π \). Не входит.
Снова рассмотрим \( x = -rac{π}{3} + 2πk \):
\( k=-2 ightarrow x = -rac{π}{3} - 4π = -rac{13π}{3} ≈ -4.33π \) - не входит.
\( k=-1 ightarrow x = -rac{π}{3} - 2π = -rac{7π}{3} ≈ -2.33π \) - не входит.
В интервале \( [-4π; -rac{5π}{2}] \):
\( x = 2πn \): \( n=-2 ightarrow x = -4π \) (входит).
\( x = rac{π}{3} + 2πk \): \( k=-2 ightarrow x = -rac{11π}{3} \) (входит).
\( x = -rac{π}{3} + 2πk \):
\( k=-2 ightarrow x = -rac{13π}{3} ≈ -4.33π \) - не входит.
\( k=-1 ightarrow x = -rac{7π}{3} ≈ -2.33π \) - не входит.
Пересчитаем границы интервала \( [-4π; -rac{5π}{2}] \). \(-4 π ≈ -12.56 \), \(-rac{5π}{2} ≈ -7.85 \).
Для \( x = 2πn \): \( n=-2 ightarrow x = -4π ≈ -12.56 \) (входит).
Для \( x = rac{π}{3} + 2πk \):
\( k=-2 ightarrow x = rac{π}{3} - 4π = -rac{11π}{3} ≈ -11.51 \) (входит).
\( k=-1 ightarrow x = rac{π}{3} - 2π = -rac{5π}{3} ≈ -5.23 \) (не входит).
Для \( x = -rac{π}{3} + 2πk \):
\( k=-2 ightarrow x = -rac{π}{3} - 4π = -rac{13π}{3} ≈ -13.61 \) (не входит).
\( k=-1 ightarrow x = -rac{π}{3} - 2π = -rac{7π}{3} ≈ -7.33 \) (входит).

Ответ:

а) \( x = 2πn \) и \( x = ± rac{π}{3} + 2πk \), где \( n, k ∈ ℤ \)
б) \( x = -4π \), \( x = -rac{11π}{3} \), \( x = -rac{7π}{3} \)