а) Решите уравнение cos(2x - 7π/2) = sin(4x + 3π).

Решение:

Используем тригонометрические тождества для преобразования уравнения:

1. Вспомним, что \( \cos(\alpha - \frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin(\alpha) \). В нашем случае \( \alpha = 2x \). Следовательно, \( \cos(2x - \frac{7\pi}{2}) = \cos(2x - \frac{3\pi}{2} - 2\pi) = \cos(2x - \frac{3\pi}{2}) = -\sin(2x) \).
2. Также вспомним, что \( \sin(\beta + \pi) = -\sin(\beta) \). В нашем случае \( \beta = 4x \). Следовательно, \( \sin(4x + 3\pi) = \sin(4x + \pi + 2\pi) = \sin(4x + \pi) = -\sin(4x) \).
3. Подставим полученные выражения в исходное уравнение: \( -\sin(2x) = -\sin(4x) \).
4. Упростим: \( \sin(4x) = \sin(2x) \).
5. Перенесём всё в одну часть: \( \sin(4x) - \sin(2x) = 0 \).
6. Применим формулу разности синусов: \( 2 \cos(\frac{4x + 2x}{2}) \sin(\frac{4x - 2x}{2}) = 0 \).
7. Упростим: \( 2 \cos(3x) \sin(x) = 0 \).
8. Получаем два случая:
• Случай 1: \( \sin(x) = 0 \). Тогда \( x = \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
• Случай 2: \( \cos(3x) = 0 \). Тогда \( 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \). Следовательно, \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: x = \( \pi n \) и x = \( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).