а) Решите уравнение \(\cos 2x+\sin^2 x=0,25\); б) найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([3\pi;\frac{9\pi}{2}]\).

а) Используем тождество \(\cos 2x=1-2\sin^2 x\):

\(1-2\sin^2 x+\sin^2 x=0,25\), то есть \(\cos^2 x=0,25=\frac14\).

Следовательно, \(\cos x=\pm\frac12\), а общий вид решений: \(x=k\pi\pm\frac{\pi}{3}\), где \(k\in\mathbb Z\).

б) Отбираем решения, принадлежащие отрезку \([3\pi;\frac{9\pi}{2}]\). Подходят значения \(x=3\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{10\pi}{3}\), \(x=4\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{11\pi}{3}\) и \(x=4\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{13\pi}{3}\).

Ответ: а) \(x=k\pi\pm\frac{\pi}{3},\ k\in\mathbb Z\); б) \(\frac{10\pi}{3},\frac{11\pi}{3},\frac{13\pi}{3}\).