а) Решите уравнение \(\cos 2x+\sin^2 x=0,5\); б) найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-\frac{7\pi}{2};-2\pi]\).

а) Используем тождество \(\cos 2x=1-2\sin^2 x\):

\(1-2\sin^2 x+\sin^2 x=0,5\), поэтому \(1-\sin^2 x=0,5\). Так как \(1-\sin^2 x=\cos^2 x\), получаем \(\cos^2 x=\frac12\).

Отсюда \(\cos x=\pm\frac{\sqrt2}{2}\), значит, \(x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\), где \(k\in\mathbb Z\).

б) Подставим общий вид корней и учтём границы отрезка:

\(-\frac{7\pi}{2}\leq\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\leq-2\pi\), откуда \(-\frac{15}{2}\leq k\leq-\frac{9}{2}\). Следовательно, \(k=-7,-6,-5\).

При этих значениях получаем корни \(-\frac{13\pi}{4},-\frac{11\pi}{4},-\frac{9\pi}{4}\).

Ответ: а) \(x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},\ k\in\mathbb Z\); б) \(-\frac{13\pi}{4},-\frac{11\pi}{4},-\frac{9\pi}{4}\).