а) Решите уравнение cos² x + sin² (x - π/4) = 1/2. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π; 6π].

Решение:

а) Решим уравнение:

1. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: \( \cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1 \), откуда \( \cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} \).
2. Также применим формулу \( \cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta) \).
3. Преобразуем исходное уравнение: \( \cos^2 x + \sin^2 \left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} \)
4. Используем формулу \( \sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha) \): \( \cos^2 x + 1 - \cos^2 \left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} \)
5. Перенесём все члены в одну сторону: \( \cos^2 x - \cos^2 \left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} \)
6. Используем формулу разности квадратов: \( (\cos x - \cos(x - \frac{\pi}{4}))(\cos x + \cos(x - \frac{\pi}{4})) = -\frac{1}{2} \)
7. Применим формулы суммы и разности косинусов: \( \cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} \) и \( \cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} \).
8. \( A = x \), \( B = x - \frac{\pi}{4} \).
9. \( \frac{A+B}{2} = \frac{x + x - \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{2x - \frac{\pi}{4}}{2} = x - \frac{\pi}{8} \)
10. \( \frac{A-B}{2} = \frac{x - (x - \frac{\pi}{4})}{2} = \frac{\frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\pi}{8} \)
11. Подставляем: \( (-2\sin(x - \frac{\pi}{8})\sin(\frac{\pi}{8}))(2\cos(x - \frac{\pi}{8})\cos(\frac{\pi}{8})) = -\frac{1}{2} \)
12. Перегруппируем: \( -4\sin(x - \frac{\pi}{8})\cos(x - \frac{\pi}{8})\sin(\frac{\pi}{8})\cos(\frac{\pi}{8}) = -\frac{1}{2} \)
13. Используем формулу \( \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \) дважды: \( -2\sin(2(x - \frac{\pi}{8})) \cdot \frac{1}{2}\sin(2\frac{\pi}{8}) = -\frac{1}{2} \)
14. \( -\sin(2x - \frac{\pi}{4}) \cdot \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2} \)
15. \( \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
16. \( -\sin(2x - \frac{\pi}{4}) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{2} \)
17. \( -\sin(2x - \frac{\pi}{4}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} = -\frac{1}{2} \)
18. \( \sin(2x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \)
19. Уравнение \( \sin(y) = \sqrt{2} \) не имеет решений, так как \( \sqrt{2} > 1 \).

Перепроверим решение.

Есть более простой путь:

1. Используем тождество \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \).
2. \( 1 - \sin^2 x + \sin^2 \left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} \)
3. \( \sin^2 \left(x - \frac{\pi}{4}\right) - \sin^2 x = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} \)
4. Применим формулу \( \sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B)\sin(A-B) \).
5. \( A = x - \frac{\pi}{4} \), \( B = x \).
6. \( A+B = x - \frac{\pi}{4} + x = 2x - \frac{\pi}{4} \)
7. \( A-B = x - \frac{\pi}{4} - x = -\frac{\pi}{4} \)
8. \( \sin(2x - \frac{\pi}{4}) \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2} \)
9. \( \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
10. \( \sin(2x - \frac{\pi}{4}) \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{1}{2} \)
11. \( \sin(2x - \frac{\pi}{4}) = \frac{-1/2}{-\sqrt{2}/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
12. Теперь решаем \( \sin(2x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
13. Следовательно, \( 2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \) или \( 2x - \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
14. Случай 1: \( 2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \)
15. \( 2x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \)
16. \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
17. Случай 2: \( 2x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \)
18. \( 2x = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \pi + 2\pi n \)
19. \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π; 6π].

Рассмотрим оба случая:

Случай 1: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \)

• Если \( n = 5 \), то \( x = \frac{\pi}{4} + 5\pi = \frac{\pi + 20\pi}{4} = \frac{21\pi}{4} \). \( \frac{21\pi}{4} = 5.25\pi \). Этот корень принадлежит отрезку [5π; 6π].
• Если \( n = 6 \), то \( x = \frac{\pi}{4} + 6\pi = \frac{\pi + 24\pi}{4} = \frac{25\pi}{4} \). \( \frac{25\pi}{4} = 6.25\pi \). Этот корень НЕ принадлежит отрезку [5π; 6π].

Случай 2: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \)

• Если \( n = 5 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + 5\pi = \frac{\pi + 10\pi}{2} = \frac{11\pi}{2} \). \( \frac{11\pi}{2} = 5.5\pi \). Этот корень принадлежит отрезку [5π; 6π].
• Если \( n = 6 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + 6\pi = \frac{\pi + 12\pi}{2} = \frac{13\pi}{2} \). \( \frac{13\pi}{2} = 6.5\pi \). Этот корень НЕ принадлежит отрезку [5π; 6π].

Ответ: а) \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \) или \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). б) \( \frac{21\pi}{4} \), \( \frac{11\pi}{2} \).