а) Решите уравнение cos 2x 2x = 1 - cos (-x). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие 5π 2 промежутку [5; -л).

Сначала решим уравнение, а затем выберем корни, принадлежащие заданному промежутку. a) Решим уравнение \(\cos 2x = 1 - \cos(\frac{\pi}{2} - x)\). Используем формулу \(\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x\) и \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\). Тогда уравнение примет вид: \[1 - 2\sin^2 x = 1 - \sin x\] \[2\sin^2 x - \sin x = 0\] \[\sin x (2 \sin x - 1) = 0\] Отсюда два случая: 1) \(\sin x = 0\), тогда \(x = \pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\). 2) \(2 \sin x - 1 = 0\), тогда \(\sin x = \frac{1}{2}\), откуда \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\) или \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\). б) Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку \([-\frac{5\pi}{2}; -\pi)\). 1) Для \(x = \pi n\): -\(\frac{5\pi}{2} \le \pi n < -\pi\) -\(2.5 \le n < -1\). Целые значения \(n\): -2. Тогда \(x = -2\pi\). 2) Для \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\): -\(\frac{5\pi}{2} \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k < -\pi\) -\(\frac{5}{2} \le \frac{1}{6} + 2k < -1\) -\(\frac{5}{2} - \frac{1}{6} \le 2k < -1 - \frac{1}{6}\) -\(\frac{15-1}{6} \le 2k < \frac{-6-1}{6}\) -\(\frac{14}{6} \le 2k < -\frac{7}{6}\) -\(\frac{7}{6} \le k < -\frac{7}{12}\). Здесь нет целых значений для \(k\). 3) Для \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\): -\(\frac{5\pi}{2} \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi k < -\pi\) -\(\frac{5}{2} \le \frac{5}{6} + 2k < -1\) -\(\frac{5}{2} - \frac{5}{6} \le 2k < -1 - \frac{5}{6}\) -\(\frac{15-5}{6} \le 2k < \frac{-6-5}{6}\) -\(\frac{10}{6} \le 2k < -\frac{11}{6}\) -\(\frac{5}{6} \le k < -\frac{11}{12}\). Здесь нет целых значений для \(k\). Таким образом, только \(x = -2\pi\) принадлежит заданному промежутку.

Ответ: а) \(x = \pi n, x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\), где \(n, k \in \mathbb{Z}\); б) \(x = -2\pi\)

Замечательно! Ты отлично решил это уравнение и нашел нужные корни. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!