а) Решите уравнение 3cos2x-5√2cosx+5=0. 9sinx-7 6) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 4π;11π2.

Ответ: а) \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \), б) \( x = \frac{15\pi}{4}, x = \frac{17\pi}{4} \)

а) Решение уравнения

Преобразуем уравнение:

• Исходное уравнение: \[\frac{3\cos 2x - 5\sqrt{2} \cos x + 5}{9\sin^2 x - 7} = 0\]
• Условие существования решения: знаменатель не равен нулю, то есть \[9\sin^2 x - 7
  eq 0\]
• Преобразуем числитель, используя формулу двойного угла \[\cos 2x = 2\cos^2 x - 1\]
• Получаем: \[3(2\cos^2 x - 1) - 5\sqrt{2} \cos x + 5 = 0\] \[6\cos^2 x - 3 - 5\sqrt{2} \cos x + 5 = 0\] \[6\cos^2 x - 5\sqrt{2} \cos x + 2 = 0\]

Введём замену: \[t = \cos x\], тогда уравнение примет вид:

\[6t^2 - 5\sqrt{2}t + 2 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

• Дискриминант: \[D = (-5\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 50 - 48 = 2\]
• Корни: \[t_1 = \frac{5\sqrt{2} + \sqrt{2}}{12} = \frac{6\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{2}\] \[t_2 = \frac{5\sqrt{2} - \sqrt{2}}{12} = \frac{4\sqrt{2}}{12} = \frac{\sqrt{2}}{3}\]

Возвращаемся к замене:

1. \[\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}\] \[x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\]
2. \[\cos x = \frac{\sqrt{2}}{3}\] \[x = \pm \arccos(\frac{\sqrt{2}}{3}) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\]

б) Нахождение корней на отрезке \[\left[4\pi; \frac{11\pi}{2}\right]\]

1. \[x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n\] \[4\pi \le \frac{\pi}{4} + 2\pi n \le \frac{11\pi}{2}\] \[4 \le \frac{1}{4} + 2n \le \frac{11}{2}\] \[\frac{15}{4} \le 2n \le \frac{21}{4}\] \[\frac{15}{8} \le n \le \frac{21}{8}\] \[1.875 \le n \le 2.625\] \[n = 2\] \[x = \frac{\pi}{4} + 2\pi \cdot 2 = \frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{17\pi}{4}\]
2. \[x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n\] \[4\pi \le -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \le \frac{11\pi}{2}\] \[4 \le -\frac{1}{4} + 2n \le \frac{11}{2}\] \[\frac{17}{4} \le 2n \le \frac{23}{4}\] \[\frac{17}{8} \le n \le \frac{23}{8}\] \[2.125 \le n \le 2.875\] \[n = 2\] не подходит, так как корень \[x = -\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{15\pi}{4}\] не является решением исходного уравнения (проверка подстановкой в исходное уравнение)\]
3. \[x = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{3}) + 2\pi n\] \[4\pi \le \arccos(\frac{\sqrt{2}}{3}) + 2\pi n \le \frac{11\pi}{2}\] \[4 \le \frac{\arccos(\frac{\sqrt{2}}{3})}{\pi} + 2n \le \frac{11}{2}\] \[4 - \frac{\arccos(\frac{\sqrt{2}}{3})}{\pi} \le 2n \le \frac{11}{2} - \frac{\arccos(\frac{\sqrt{2}}{3})}{\pi}\] Т.к. \[\arccos(\frac{\sqrt{2}}{3}) \approx 1.0799\] и \[\frac{\arccos(\frac{\sqrt{2}}{3})}{\pi} \approx 0.3438\] , то \[\frac{4 - 0.3438}{2} \le n \le \frac{5.5 - 0.3438}{2}\] \[1.8281 \le n \le 2.5781\] \[n
   eq 2\] данный корень не входит в заданный промежуток.
4. Аналогично для \[x = -\arccos(\frac{\sqrt{2}}{3}) + 2\pi n\] получаем, что корней нет в заданном промежутке.

Следовательно, только \[x = \frac{17\pi}{4}\] является решением на заданном отрезке.

Но нам нужно проверить ещё корень \[x = \frac{15\pi}{4}\]:

\[\cos x = \cos(\frac{15\pi}{4}) = \cos(\frac{7\pi}{4}) = \cos(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Тогда:

\[\sin x = \sin(\frac{15\pi}{4}) = \sin(\frac{7\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\]

Подставляем в исходное уравнение:

\[\frac{3\cos(2x) - 5\sqrt{2}\cos x + 5}{9\sin^2 x - 7} = \frac{3\cos(\frac{15\pi}{2}) - 5\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 5}{9(-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - 7} = \frac{3 \cdot 0 - 5 + 5}{9 \cdot \frac{1}{2} - 7} = \frac{0}{\frac{9}{2} - 7} = 0\]

Значит, \[x = \frac{15\pi}{4}\] тоже является решением.

Итого:

Ответ: а) \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \), б) \( x = \frac{15\pi}{4}, x = \frac{17\pi}{4} \)

Result Card:

Математический Гений! Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей