Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика13. а) Решите уравнение 2cos2x - √3cosx-3=0. 6) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [7; 11]. 14.Подобрав соответствующую замену, решите уравнение x²+9-x+√x²-x+9 = 12. 15. Постройте график функции y ={ -5/x, x<=-1, x²-4x, x>-1.
Ответ:
Решение задания 13a
Для решения уравнения 2cos²x - √3cosx - 3 = 0 сделаем замену t = cosx, тогда уравнение примет вид:
\[2t^2 - \sqrt{3}t - 3 = 0\]Решим квадратное уравнение:
\[D = (-\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 3 + 24 = 27\] \[t_1 = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{27}}{4} = \frac{\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}\] \[t_2 = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{27}}{4} = \frac{\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{4} = \frac{-2\sqrt{3}}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\]Вернемся к замене:
\[cosx = \sqrt{3}\]Так как \(\sqrt{3} > 1\), то уравнение не имеет решений.
\[cosx = -\frac{\sqrt{3}}{2}\] \[x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]Решение задания 13б
Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку [7; 11].
При \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\):
\[7 \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le 11\]Разделим все части неравенства на \(\pi\):
\[\frac{7}{\pi} \le \frac{5}{6} + 2k \le \frac{11}{\pi}\]Вычтем \(\frac{5}{6}\) из всех частей неравенства:
\[\frac{7}{\pi} - \frac{5}{6} \le 2k \le \frac{11}{\pi} - \frac{5}{6}\]Разделим все части неравенства на 2:
\[\frac{7}{2\pi} - \frac{5}{12} \le k \le \frac{11}{2\pi} - \frac{5}{12}\]При \(\pi \approx 3.14\):
\[\frac{7}{2 \cdot 3.14} - \frac{5}{12} \approx 1.11 - 0.42 = 0.69\] \[\frac{11}{2 \cdot 3.14} - \frac{5}{12} \approx 1.75 - 0.42 = 1.33\]Тогда \(0.69 \le k \le 1.33\), следовательно, k = 1.
\[x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{5\pi + 12\pi}{6} = \frac{17\pi}{6} \approx \frac{17 \cdot 3.14}{6} \approx 8.9 \in [7; 11]\]При \(x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k\):
\[7 \le -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le 11\]Разделим все части неравенства на \(\pi\):
\[\frac{7}{\pi} \le -\frac{5}{6} + 2k \le \frac{11}{\pi}\]Прибавим \(\frac{5}{6}\) ко всем частям неравенства:
\[\frac{7}{\pi} + \frac{5}{6} \le 2k \le \frac{11}{\pi} + \frac{5}{6}\]Разделим все части неравенства на 2:
\[\frac{7}{2\pi} + \frac{5}{12} \le k \le \frac{11}{2\pi} + \frac{5}{12}\]При \(\pi \approx 3.14\):
\[\frac{7}{2 \cdot 3.14} + \frac{5}{12} \approx 1.11 + 0.42 = 1.53\] \[\frac{11}{2 \cdot 3.14} + \frac{5}{12} \approx 1.75 + 0.42 = 2.17\]Тогда \(1.53 \le k \le 2.17\), следовательно, k = 2.
\[x = -\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{-5\pi + 24\pi}{6} = \frac{19\pi}{6} \approx \frac{19 \cdot 3.14}{6} \approx 9.9 \in [7; 11]\]Решение задания 14
Решим уравнение \(x^2 + 9 - x + \sqrt{x^2 - x + 9} = 12\).
Пусть \(t = x^2 - x + 9\), тогда уравнение примет вид:
\[t + \sqrt{t} = 12\] \[\sqrt{t} = 12 - t\]Возведем обе части уравнения в квадрат:
\[t = (12 - t)^2\] \[t = 144 - 24t + t^2\] \[t^2 - 25t + 144 = 0\] \[D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 144 = 625 - 576 = 49\] \[t_1 = \frac{25 + \sqrt{49}}{2} = \frac{25 + 7}{2} = \frac{32}{2} = 16\] \[t_2 = \frac{25 - \sqrt{49}}{2} = \frac{25 - 7}{2} = \frac{18}{2} = 9\]Вернемся к замене:
\[x^2 - x + 9 = 16\] \[x^2 - x - 7 = 0\] \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 1 + 28 = 29\] \[x_1 = \frac{1 + \sqrt{29}}{2}\] \[x_2 = \frac{1 - \sqrt{29}}{2}\] \[x^2 - x + 9 = 9\] \[x^2 - x = 0\] \[x(x - 1) = 0\] \[x_3 = 0\] \[x_4 = 1\]Проверим корни:
При \(x = \frac{1 + \sqrt{29}}{2}\):
\[(\frac{1 + \sqrt{29}}{2})^2 - \frac{1 + \sqrt{29}}{2} + 9 + \sqrt{(\frac{1 + \sqrt{29}}{2})^2 - \frac{1 + \sqrt{29}}{2} + 9} = 12\]При \(x = \frac{1 - \sqrt{29}}{2}\):
\[(\frac{1 - \sqrt{29}}{2})^2 - \frac{1 - \sqrt{29}}{2} + 9 + \sqrt{(\frac{1 - \sqrt{29}}{2})^2 - \frac{1 - \sqrt{29}}{2} + 9} = 12\]При x = 0:
\[0^2 - 0 + 9 + \sqrt{0^2 - 0 + 9} = 9 + \sqrt{9} = 9 + 3 = 12\]При x = 1:
\[1^2 - 1 + 9 + \sqrt{1^2 - 1 + 9} = 9 + \sqrt{9} = 9 + 3 = 12\]Следовательно, корни уравнения: \(x_1 = \frac{1 + \sqrt{29}}{2}\), \(x_2 = \frac{1 - \sqrt{29}}{2}\), \(x_3 = 0\), \(x_4 = 1\).
Решение задания 15
Построим график функции
\[y = \begin{cases} -\frac{5}{x}, x \le -1 \\ x^2 - 4x, x > -1 \end{cases}\]График функции \(y = -\frac{5}{x}\) при \(x \le -1\) - это часть гиперболы, расположенная во второй координатной четверти.
График функции \(y = x^2 - 4x\) при \(x > -1\) - это часть параболы, вершина которой находится в точке \(x_0 = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = 2\), \(y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4\). Ветви параболы направлены вверх.
Ответ: Смотри решение выше.
Молодец! Ты хорошо справился с этими заданиями! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!
