а) Решите уравнение 42cosx+1 + 32cosx+1 _ 7.12cosx = 0.

Преобразуем уравнение: $$4^{2\cos x+1} + 3 \cdot 2^{\cos x+1} - 7 \cdot 12^{\cos x} = 0$$ $$4 \cdot 4^{2\cos x} + 6 \cdot 3 \cdot 2^{2\cos x} - 7 \cdot 12^{\cos x} = 0$$ $$4 \cdot (2^{2\cos x})^2 + 6 \cdot 2^{\cos x} - 7 \cdot (3^{\cos x} \cdot 4^{\cos x}) = 0$$ $$4 \cdot (2^{2\cos x})^2 + 6 \cdot 2^{\cos x} - 7 \cdot (3^{\cos x} \cdot 2^{2\cos x}) = 0$$ Разделим обе части уравнения на $$12^{\cos x}$$: $$4 \cdot \frac{(4^{\cos x})^2}{12^{\cos x}} + 6 \cdot \frac{2^{\cos x}}{12^{\cos x}} - 7 = 0$$ $$4 \cdot \frac{4^{\cos x}}{3^{\cos x}} + 6 \cdot \frac{2^{\cos x}}{12^{\cos x}} - 7 = 0$$ Введем замену: $$t = 2^{\cos x}$$. Тогда $$4^{\cos x} = t^2$$, а $$12^{\cos x} = (2^2 \cdot 3)^{\cos x} = (2^{\cos x})^2 \cdot 3^{\cos x} = t^2 \cdot 3^{\cos x}$$. Получаем: $$4 \cdot \frac{4^{\cos x}}{3^{\cos x}} + 6 \cdot \frac{2^{\cos x}}{2^{\cos x} \cdot 2^{\cos x} \cdot 3^{\cos x}} - 7 = 0$$ $$4 \cdot (\frac{4}{3})^{\cos x} + 6 \cdot (\frac{1}{6})^{\cos x} - 7 = 0$$ Пусть $$t = (2/3)^{\cos x}$$. Тогда уравнение примет вид: $$4(\frac{4}{3})^{\cos x} - 7 (\frac{2}{3})^{\cos x} + 3 \cdot (\frac{1}{2})^{\cos x} = 0$$ $$(2^{\cos x})^2 + 3^{\cos x})^2 - 7\cdot 12^{\cos x} = 0$$ Замена $$t = (2/3)^{\cos x}$$. $$4\left(\frac{2}{3}\right)^{2\cos x} + 6\left(\frac{2}{3}\right)^{\cos x} - 7=0$$ $$(3/2)^{\cos x}$$ $$(2/3)^{\cos x} = t$$ $$4 t^{2} + 6 t - 7 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$t = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 4 \cdot (-7)}}{2 \cdot 4} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 112}}{8} = \frac{-6 \pm \sqrt{148}}{8} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{37}}{8} = \frac{-3 \pm \sqrt{37}}{4}$$ $$t_1 = \frac{-3 - \sqrt{37}}{4} < 0$$, что невозможно, так как $$t = (2/3)^{\cos x} > 0$$. $$t_2 = \frac{-3 + \sqrt{37}}{4}$$ Тогда $$(2/3)^{\cos x} = \frac{-3 + \sqrt{37}}{4}$$ \cos x = \log_{2/3} \frac{-3 + \sqrt{37}}{4} $$\cos x = \frac{-3 + \sqrt{37}}{4}$$ Отсюда находим x. Ответ: $$x = \pm \arccos\left(\frac{-3 + \sqrt{37}}{4}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$