а) Решите уравнение cosx.sin(x + \frac{\pi}{4}).sin(x - \frac{\pi}{4}) = cos 2x. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-4π; \frac{5π}{2}]

Решение:

a) Решим уравнение: \[\cos x \cdot \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \cdot \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \cos 2x\]

Используем формулу для произведения синусов: \[\sin(a+b) \cdot \sin(a-b) = \sin^2 a - \sin^2 b\]

В нашем случае: \[\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \cdot \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \sin^2 x - \sin^2 \frac{\pi}{4} = \sin^2 x - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \sin^2 x - \frac{1}{2}\]

Тогда уравнение принимает вид: \[\cos x \cdot \left(\sin^2 x - \frac{1}{2}\right) = \cos 2x\]\[\cos x \cdot \left(\sin^2 x - \frac{1}{2}\right) = \cos^2 x - \sin^2 x\]\[\cos x \cdot \sin^2 x - \frac{1}{2} \cos x = \cos^2 x - \sin^2 x\]

Используем основное тригонометрическое тождество \[\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\]

\[\cos x (1 - \cos^2 x) - \frac{1}{2} \cos x = \cos^2 x - (1 - \cos^2 x)\]\[\cos x - \cos^3 x - \frac{1}{2} \cos x = 2\cos^2 x - 1\]\[-\cos^3 x - 2\cos^2 x + \frac{1}{2} \cos x + 1 = 0\]\[2\cos^3 x + 4\cos^2 x - \cos x - 2 = 0\]

Сгруппируем: \[2\cos^2 x(\cos x + 2) - (\cos x + 2) = 0\]\[(2\cos^2 x - 1)(\cos x + 2) = 0\]

Получаем два случая: 1) \[\cos x + 2 = 0\]\[\cos x = -2\] (нет решений, так как \[-1 \le \cos x \le 1\]) 2) \[2\cos^2 x - 1 = 0\]\[\cos^2 x = \frac{1}{2}\]\[\cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Отсюда: \[x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\] \[x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\] или \[x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\]

б) Укажем корни уравнения, принадлежащие отрезку \([-4\pi; \frac{5\pi}{2}]\]

1) \[x = \frac{\pi}{4} + \pi k\]\[-4\pi \le \frac{\pi}{4} + \pi k \le \frac{5\pi}{2}\]\[-4 \le \frac{1}{4} + k \le \frac{5}{2}\]\[-\frac{17}{4} \le k \le \frac{9}{4}\]\[-4.25 \le k \le 2.25\]

Целые значения k: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2

Корни: \[x = \frac{\pi}{4} - 4\pi = -\frac{15\pi}{4}\]\[x = \frac{\pi}{4} - 3\pi = -\frac{11\pi}{4}\]\[x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4}\]\[x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}\]\[x = \frac{\pi}{4}\]\[x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}\]\[x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}\]

2) \[x = -\frac{\pi}{4} + \pi k\]\[-4\pi \le -\frac{\pi}{4} + \pi k \le \frac{5\pi}{2}\]\[-4 \le -\frac{1}{4} + k \le \frac{5}{2}\]\[-\frac{15}{4} \le k \le \frac{11}{4}\]\[-3.75 \le k \le 2.75\]

Целые значения k: -3, -2, -1, 0, 1, 2

Корни: \[x = -\frac{\pi}{4} - 3\pi = -\frac{13\pi}{4}\]\[x = -\frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{9\pi}{4}\]\[x = -\frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{5\pi}{4}\]\[x = -\frac{\pi}{4}\]\[x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}\]\[x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}\]

Ответ: а) \[x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\] б) \[-\frac{15\pi}{4}, -\frac{13\pi}{4}, -\frac{11\pi}{4}, -\frac{9\pi}{4}, -\frac{7\pi}{4}, -\frac{5\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, \frac{9\pi}{4}\]