а) Решите уравнение \( \frac{9^{\sin 2x} - 3^{2\sqrt{2}}\sin x}}{\sqrt{11 \sin x}} = 0 \)

Решение:

Для того чтобы дробь была равна нулю, необходимо, чтобы числитель был равен нулю, а знаменатель не был равен нулю.

1. Числитель равен нулю:

\( 9^{\sin 2x} - 3^{2\sqrt{2}}\sin x} = 0 \)

Перепишем \( 9 \) как \( 3^2 \) и \( \sin 2x \) как \( 2 \sin x \cos x \):

\( (3^2)^{\sin 2x} - 3^{2\sqrt{2}}\sin x} = 0 \)

\( 3^{2 \sin 2x} - 3^{2\sqrt{2}}\sin x} = 0 \)

\( 3^{2 \sin 2x} = 3^{2\sqrt{2}}\sin x} \)

Приравниваем показатели степеней:

\( 2 \sin 2x = 2\sqrt{2}\sin x \)

\( \sin 2x = \sqrt{2}\sin x \)

Используем формулу двойного угла для синуса \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \):

\( 2 \sin x \cos x = \sqrt{2}\sin x \)

Переносим всё в одну сторону:

\( 2 \sin x \cos x - \sqrt{2}\sin x = 0 \)

Выносим \( \sin x \) за скобки:

\( \sin x (2 \cos x - \sqrt{2}) = 0 \)

Это равенство выполняется, если:

\( \sin x = 0 \) или \( 2 \cos x - \sqrt{2} = 0 \)

Случай 1: \( \sin x = 0 \)

\( x = \pi k \), где \( k \in ℤ \) (целые числа).

Случай 2: \( 2 \cos x - \sqrt{2} = 0 \)

\( 2 \cos x = \sqrt{2} \)

\( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

\( x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n \), где \( n \in ℤ \) (целые числа).

2. Знаменатель не равен нулю:

\( \sqrt{11 \sin x} \neq 0 \)

\( 11 \sin x \neq 0 \)

\( \sin x \neq 0 \)

Из этого условия следует, что \( x \neq \pi k \), где \( k \in ℤ \).

Таким образом, решения \( x = \pi k \) из первого случая отбрасываются.

Остаются решения:

\( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \) и \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \), где \( n \in ℤ \).

Ответ: а) \( x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n \), где \( n \in ℤ \).