a) Решите уравнение $$\frac{\sin 2x}{\sin(\frac{7\pi}{2} - x)} = \sqrt{2}$$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[2\pi; \frac{7\pi}{2}]$$.

Question

Вопрос:

a) Решите уравнение $$\frac{\sin 2x}{\sin(\frac{7\pi}{2} - x)} = \sqrt{2}$$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[2\pi; \frac{7\pi}{2}]$$.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Краткое пояснение:

Краткое пояснение: Для решения уравнения воспользуемся тригонометрическими тождествами, упростим выражение и найдем значения переменной. Затем проверим принадлежность найденных корней заданному интервалу.

a) Решение уравнения:

Упрощение знаменателя: Используем формулу приведения: $ \sin(\frac{7\pi}{2} - x) = \sin(3\pi + \frac{\pi}{2} - x) = \sin(\pi + (\frac{\pi}{2} - x)) = -\sin(\frac{\pi}{2} - x) = -\cos(x) $.
Применение формулы двойного угла: $ \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) $.
Подстановка в уравнение: $ \frac{2 \sin(x) \cos(x)}{-\cos(x)} = \sqrt{2} $.
Сокращение и решение: При условии $ \cos(x)
eq 0 $ и $ \sin(\frac{7\pi}{2} - x)
eq 0 $ (то есть $ \cos(x)
eq 0 $), получаем: $ -2 \sin(x) = \sqrt{2} $.
Нахождение sin(x): $ \sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.
Общее решение: Уравнение $ \sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ имеет два семейства решений:
$ x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k $
$ x = \pi - (-\frac{\pi}{4}) + 2\pi k = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Проверка условий:
$ \cos(x)
eq 0 $ выполняется для найденных решений.
$ \sin(\frac{7\pi}{2} - x) = -\cos(x)
eq 0 $.

б) Выбор корней, принадлежащих отрезку $$[2\pi; \frac{7\pi}{2}]$$:

Первое семейство: $ x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k $
При $ k=1 $: $ x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} $ (не входит в отрезок).
При $ k=2 $: $ x = -\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{15\pi}{4} $.
Проверим: $ 2\pi = \frac{8\pi}{4} $, $ \frac{7\pi}{2} = \frac{14\pi}{4} $.
$ \frac{15\pi}{4} $ не входит в отрезок $ [\frac{8\pi}{4}; \frac{14\pi}{4}] $.
Второе семейство: $ x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k $
При $ k=0 $: $ x = \frac{5\pi}{4} $ (не входит в отрезок).
При $ k=1 $: $ x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi = \frac{13\pi}{4} $.
Проверим: $ 2\pi = \frac{8\pi}{4} $, $ \frac{7\pi}{2} = \frac{14\pi}{4} $.
$ \frac{13\pi}{4} $ входит в отрезок $ [\frac{8\pi}{4}; \frac{14\pi}{4}] $.

Ответ: а) $ x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k $ и $ x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. б) $ \frac{13\pi}{4} $.