а) Решите уравнение sin (π/2 +x) + sin 2x = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (0; 5π/2].

Решение

а) Решим уравнение: \[\sin(\frac{\pi}{2} + x) + \sin(2x) = 0\] Используем формулу приведения \(\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos(x)\), тогда уравнение примет вид: \[\cos(x) + \sin(2x) = 0\] Используем формулу двойного угла \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\), тогда: \[\cos(x) + 2\sin(x)\cos(x) = 0\] Вынесем \(\cos(x)\) за скобки: \[\cos(x)(1 + 2\sin(x)) = 0\] Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \[\cos(x) = 0 \quad \text{или} \quad 1 + 2\sin(x) = 0\] Решим первое уравнение: \[\cos(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\] Решим второе уравнение: \[1 + 2\sin(x) = 0 \Rightarrow \sin(x) = -\frac{1}{2}\] \[x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \quad \text{или} \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}\] б) Найдем корни, принадлежащие промежутку \((0; \frac{5\pi}{2}]\): 1) \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\): \(k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}\) \(k = 1 \Rightarrow x = \frac{3\pi}{2}\) \(k = 2 \Rightarrow x = \frac{5\pi}{2}\) 2) \(x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n\): \(n = 1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}\) 3) \(x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi m\): \(m = 0 \Rightarrow x = \frac{7\pi}{6}\) Таким образом, корни, принадлежащие заданному промежутку: \[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\]

Ответ: a) \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\); \(x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\); \(x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}\); б) \(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\)

Желаю удачи в дальнейшем изучении математики! У тебя все получится! Молодец!