13.а) Решите уравнение: 2sin2 x = sin x б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [7;10]

Решение:

а) Решим уравнение: \[2\sin^2 x = \sin x\]

Перенесем все в одну сторону: \[2\sin^2 x - \sin x = 0\]

Вынесем sin x за скобки: \[\sin x(2\sin x - 1) = 0\]

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Следовательно:

• \[\sin x = 0\]
• \[2\sin x - 1 = 0\]

Решим первое уравнение: \[\sin x = 0\]

\[x = \pi n, n \in \mathbb{Z}\]

Решим второе уравнение: \[2\sin x - 1 = 0\]

\[\sin x = \frac{1}{2}\]

\[x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\] или \[x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}\]

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку \[ [7; 10] \]

Приближенно: \[ \pi \approx 3.14 \]

Отрезок \[ [7; 10] \] находится между \[ 2\pi \approx 6.28 \] и \[ 3\pi \approx 9.42 \]

Рассмотрим корни вида \[ x = \pi n \]:

• При n = 3: \[x = 3\pi \approx 9.42 \in [7; 10]\]

Рассмотрим корни вида \[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \]:

• При k = 1: \[x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} \approx 6.81
  otin [7; 10]\]

• При k = 2: \[x = \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{25\pi}{6} \approx 13.09
  otin [7; 10]\]

Рассмотрим корни вида \[ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m \]:

• При m = 1: \[x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} \approx 8.90 \in [7; 10]\]

• При m = 2: \[x = \frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{29\pi}{6} \approx 15.18
  otin [7; 10]\]

Ответ:

• а) \[x = \pi n, x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m, n,k,m \in \mathbb{Z}\]
• б) \[x = 3\pi, x = \frac{17\pi}{6}\]