2. а) Решите уравнение sin2x+√3sinx = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 3. а) Решите уравнение: sin²x - √3sinx = б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [– 13; – 10]

Ответ: 2. a) x = πk, x = -π/3 + 2πk, x = 4π/3 + 2πk; б) 5π/2, 2π, 7π/3, 3π; 3. a) x = π/3 + πk, x = 2π/3 + πk; б) -11π/3, -10π/3.

2. a) Решим уравнение sin2x + √3sinx = 0

Используем формулу синуса двойного угла: sin2x = 2sinxcosx

2sinxcosx + √3sinx = 0

Вынесем sinx за скобку:

sinx(2cosx + √3) = 0

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) sinx = 0

x = πk, где k ∈ Z

2) 2cosx + √3 = 0

cosx = -√3/2

x = -π/3 + 2πk, где k ∈ Z

x = 4π/3 + 2πk, где k ∈ Z

б) Найдем корни, принадлежащие отрезку [5π/2; 7π/2]

1) x = πk

5π/2 ≤ πk ≤ 7π/2

5/2 ≤ k ≤ 7/2

k = 3

x = 3π = 6π/2

2) x = -π/3 + 2πk

5π/2 ≤ -π/3 + 2πk ≤ 7π/2

5π/2 + π/3 ≤ 2πk ≤ 7π/2 + π/3

17π/6 ≤ 2πk ≤ 23π/6

17/12 ≤ k ≤ 23/12

k = 2

x = -π/3 + 4π = 11π/3 = 22π/6

3) x = 4π/3 + 2πk

5π/2 ≤ 4π/3 + 2πk ≤ 7π/2

5π/2 - 4π/3 ≤ 2πk ≤ 7π/2 - 4π/3

7π/6 ≤ 2πk ≤ 13π/6

7/12 ≤ k ≤ 13/12

k = 1

x = 4π/3 + 2π = 10π/3 = 20π/6

3. a) Решим уравнение sin²x - √3sinx = -3/4

sin²x - √3sinx + 3/4 = 0

Введем замену t = sinx

t² - √3t + 3/4 = 0

4t² - 4√3t + 3 = 0

D = (4√3)² - 4 * 4 * 3 = 48 - 48 = 0

t = (4√3) / 8 = √3 / 2

sinx = √3 / 2

x = π/3 + πk, где k ∈ Z

x = 2π/3 + πk, где k ∈ Z

б) Найдем корни, принадлежащие промежутку [-13; -10]

1) x = π/3 + πk

-13 ≤ π/3 + πk ≤ -10

-13 - π/3 ≤ πk ≤ -10 - π/3

-13 - 3.14/3 ≤ 3.14k ≤ -10 - 3.14/3

-13 - 1.047 ≤ 3.14k ≤ -10 - 1.047

-14.047 ≤ 3.14k ≤ -11.047

-4.473 ≤ k ≤ -3.518

k = -4

x = π/3 - 4π = -11π/3

2) x = 2π/3 + πk

-13 ≤ 2π/3 + πk ≤ -10

-13 - 2π/3 ≤ πk ≤ -10 - 2π/3

-13 - 2.09 ≤ 3.14k ≤ -10 - 2.09

-15.09 ≤ 3.14k ≤ -12.09

-4.79 ≤ k ≤ -3.85

k = -4

x = 2π/3 - 4π = -10π/3

Ответ: 2. a) x = πk, x = -π/3 + 2πk, x = 4π/3 + 2πk; б) 5π/2, 2π, 7π/3, 3π; 3. a) x = π/3 + πk, x = 2π/3 + πk; б) -11π/3, -10π/3.