13. а) Решите уравнение 2sinx-2√2sin(-x)+4cos2x=4+√2; [5;4π]. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 2; 4л

a) Решите уравнение $$2\sin x - 2\sqrt{2}\sin(-x) + 4\cos^2 x = 4 + \sqrt{2}$$.

• Используем свойство синуса: $$\sin(-x) = -\sin x$$. Тогда уравнение принимает вид: $$2\sin x + 2\sqrt{2}\sin x + 4\cos^2 x = 4 + \sqrt{2}$$.
• Выразим $$\cos^2 x$$ через $$\sin^2 x$$: $$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$$. Тогда: $$2\sin x + 2\sqrt{2}\sin x + 4(1 - \sin^2 x) = 4 + \sqrt{2}$$.
• Раскроем скобки: $$2\sin x + 2\sqrt{2}\sin x + 4 - 4\sin^2 x = 4 + \sqrt{2}$$.
• Упростим: $$-4\sin^2 x + (2 + 2\sqrt{2})\sin x - \sqrt{2} = 0$$.
• Разделим на -1: $$4\sin^2 x - (2 + 2\sqrt{2})\sin x + \sqrt{2} = 0$$.
• Пусть $$t = \sin x$$. Тогда уравнение: $$4t^2 - (2 + 2\sqrt{2})t + \sqrt{2} = 0$$.
• Решаем квадратное уравнение. Дискриминант: $$D = (2 + 2\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} = 4 + 8\sqrt{2} + 8 - 16\sqrt{2} = 12 - 8\sqrt{2} = (2\sqrt{2} - 2)^2 = 4(2 - 2\sqrt{2} + 1) = (2\sqrt{2} - 2)^2$$.
• Корни: $$t_1 = \frac{2 + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 2}{8} = \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$.
• $$t_2 = \frac{2 + 2\sqrt{2} - (2\sqrt{2} - 2)}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$.
• Тогда, $$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ или $$\sin x = \frac{1}{2}$$.
• Для $$\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$: $$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$$ или $$x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$.
• Для $$\sin x = \frac{1}{2}$$: $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$ или $$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$.

Ответ: $$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$, где $$k, n \in \mathbb{Z}$$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$$.

• $$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$$: Если $$k = 1$$, $$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} \approx 7.068 \in \left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$$. Если $$k = 2$$, $$x = \frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{17\pi}{4} > 4\pi$$.
• $$x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$$: Если $$k = 1$$, $$x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4} \approx 8.639 \in \left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$$. Если $$k = 2$$, $$x = \frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{19\pi}{4} > 4\pi$$.
• $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$: Если $$n = 1$$, $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} \approx 6.807 \in \left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$$. Если $$n = 2$$, $$x = \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{25\pi}{6} > 4\pi$$.
• $$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$: Если $$n = 1$$, $$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} \approx 8.901 \in \left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$$. Если $$n = 2$$, $$x = \frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{29\pi}{6} > 4\pi$$.

Ответ: $$\frac{9\pi}{4}; \frac{11\pi}{4}; \frac{13\pi}{6}; \frac{17\pi}{6}$$.