Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
а) Решите уравнение sinx⋅cos(x+\frac{\pi}{4})⋅cos(x−\frac{\pi}{4})=cos2x. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−\frac{11\pi}{2};−4\pi]
Ответ:
а) Решите уравнение sinx⋅cos(x+\frac{\pi}{4})⋅cos(x−\frac{\pi}{4})=cos2x.
Краткое пояснение: Используем формулы приведения и произведения косинусов.
Пошаговое решение:
- Преобразуем произведение косинусов, используя формулу cos(a+b)⋅cos(a-b) = \frac{1}{2}[cos(2a)+cos(2b)] \[cosx⋅cos(x+\frac{\pi}{4})⋅cos(x−\frac{\pi}{4}) = sinx ⋅ \frac{1}{2} ⋅ (cos2x + cos(\frac{\pi}{2})) = cos2x\]
- Так как cos(\frac{\pi}{2})=0, уравнение принимает вид: \[sinx ⋅ \frac{1}{2} ⋅ cos2x = cos2x\]
- Перенесем все в одну сторону: \[\frac{1}{2} ⋅ sinx ⋅ cos2x - cos2x = 0\]
- Вынесем cos2x за скобку: \[cos2x(\frac{1}{2}sinx - 1) = 0\]
- Уравнение распадается на два случая:
- cos2x = 0 \[2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z\] \[x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} n, n \in Z\]
- \(\frac{1}{2}sinx - 1 = 0\) \[sinx = 2\] Это уравнение не имеет решений, так как \(|sinx| \le 1\).
Ответ: \(x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} n, n \in Z\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−\frac{11\pi}{2};−4\pi]
Краткое пояснение: Необходимо найти значения n, при которых корни уравнения попадают в заданный отрезок.
Пошаговое решение:
- Подставим общее решение уравнения в заданный отрезок: \[-\frac{11\pi}{2} \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} n \le -4\pi\]
- Умножим все части неравенства на \(\frac{4}{\pi}\): \[-\frac{11\pi}{2} ⋅ \frac{4}{\pi} \le \frac{\pi}{4} ⋅ \frac{4}{\pi} + \frac{\pi}{2} n ⋅ \frac{4}{\pi} \le -4\pi ⋅ \frac{4}{\pi}\] \[-22 \le 1 + 2n \le -16\]
- Вычтем 1 из всех частей: \[-23 \le 2n \le -17\]
- Разделим все части на 2: \[-11.5 \le n \le -8.5\]
- Так как n - целое число, то n принимает значения: -11, -10, -9, -8
- n = -11: \[x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}(-11) = \frac{\pi}{4} - \frac{11\pi}{2} = \frac{\pi - 22\pi}{4} = -\frac{21\pi}{4}\]
- n = -10: \[x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}(-10) = \frac{\pi}{4} - 5\pi = \frac{\pi - 20\pi}{4} = -\frac{19\pi}{4}\]
- n = -9: \[x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}(-9) = \frac{\pi}{4} - \frac{9\pi}{2} = \frac{\pi - 18\pi}{4} = -\frac{17\pi}{4}\]
- n = -8: \[x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}(-8) = \frac{\pi}{4} - 4\pi = \frac{\pi - 16\pi}{4} = -\frac{15\pi}{4}\]
Ответ: \(x = -\frac{21\pi}{4}; -\frac{19\pi}{4}; -\frac{17\pi}{4}; -\frac{15\pi}{4}\)
