а) Решите уравнение sinx+√2sin(π/4-2x) = cos 2x. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [4π; 11π/2].

Решение:

а) Решение уравнения

1. Преобразуем уравнение: \( \sin x + \sqrt{2} \left( \sin \frac{\pi}{4} \cos 2x - \cos \frac{\pi}{4} \sin 2x \right) = \cos 2x \)
2. Подставим значения \( \sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \):
   \( \sin x + \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos 2x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2x \right) = \cos 2x \)
3. Упростим выражение:
   \( \sin x + \cos 2x - \sin 2x = \cos 2x \)
4. Сократим \( \cos 2x \):
   \( \sin x - \sin 2x = 0 \)
5. Используем формулу разности синусов:
   \( 2 \cos \frac{x + 2x}{2} \sin \frac{x - 2x}{2} = 0 \)
   \( 2 \cos \frac{3x}{2} \sin \left(-\frac{x}{2}\right) = 0 \)
6. Так как \( \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) \):
   \( -2 \cos \frac{3x}{2} \sin \frac{x}{2} = 0 \)
7. Это уравнение равносильно совокупности:
   \( \cos \frac{3x}{2} = 0 \) или \( \sin \frac{x}{2} = 0 \)
8. Решим первое уравнение:
   \( \frac{3x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \)
   \( x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3} \), где \( k \in \mathbb{Z} \)
9. Решим второе уравнение:
   \( \frac{x}{2} = \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)
   \( x = 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \)

б) Отбор корней на отрезке \( \left[ 4\pi; \frac{11\pi}{2} \right] \)

1. Рассмотрим корни из \( x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3} \):
   
   • Если \( k = 6 \): \( x = \frac{\pi}{3} + \frac{12\pi}{3} = \frac{13\pi}{3} \). \( 4\pi = \frac{12\pi}{3} \), \( \frac{11\pi}{2} = \frac{33\pi}{6} = \frac{16.5\pi}{3} \). \( \frac{12\pi}{3} \le \frac{13\pi}{3} \le \frac{16.5\pi}{3} \). Подходит.
   • Если \( k = 7 \): \( x = \frac{\pi}{3} + \frac{14\pi}{3} = \frac{15\pi}{3} = 5\pi \). \( 4\pi \le 5\pi \le \frac{11\pi}{2} \). Подходит.
   • Если \( k = 8 \): \( x = \frac{\pi}{3} + \frac{16\pi}{3} = \frac{17\pi}{3} \). \( \frac{17\pi}{3} \approx 5.66\pi \), \( \frac{11\pi}{2} = 5.5\pi \). Не подходит.
2. Рассмотрим корни из \( x = 2\pi n \):
   
   • Если \( n = 2 \): \( x = 4\pi \). \( 4\pi \le 4\pi \le \frac{11\pi}{2} \). Подходит.
   • Если \( n = 3 \): \( x = 6\pi \). \( 6\pi > \frac{11\pi}{2} \). Не подходит.

Ответ: а) \( x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi k}{3} \) или \( x = 2\pi n \), где \( k, n \in \mathbb{Z} \). б) \( 4\pi, \frac{13\pi}{3}, 5\pi \).