Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: a) Решите уравнение \(\sqrt{2}\sin^2x = \cos(\frac{\pi}{2} - x)\)Фото задания

Ответ:

Решение:

  1. Воспользуемся формулой приведения: \(\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x\).
  2. Уравнение примет вид: \(\sqrt{2}\sin^2x = \sin x\).
  3. Перенесём всё в одну часть: \(\sqrt{2}\sin^2x - \sin x = 0\).
  4. Вынесем \(\sin x\) за скобки: \(\sin x(\sqrt{2}\sin x - 1) = 0\).
  5. Отсюда получаем два случая: \(\sin x = 0\) или \(\sqrt{2}\sin x - 1 = 0\).
  6. Решим \(\sin x = 0\): \(x = \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).
  7. Решим \(\sqrt{2}\sin x - 1 = 0\): \(\sqrt{2}\sin x = 1\), \(\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
  8. Отсюда \(x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n\) или \(x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

Ответ: \(x = \pi k\), \(x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n\), \(x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n\), где \(k, n \in \mathbb{Z}\).