1. a) Решите уравнение tgx-2sin2x = 0; 6) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку - 2. a) Решите уравнение cos2x + √2cosx + 1 tgx-1 = 0; 6) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение:

1. a) Решим уравнение tgx - 2sin2x = 0;

Преобразуем уравнение, используя формулу sin2x = 2sinxcosx и tgx = sinx/cosx:

\[\frac{sinx}{cosx} - 2 \cdot 2sinxcosx = 0\]

\[\frac{sinx}{cosx} - 4sinxcosx = 0\]

\[sinx(\frac{1}{cosx} - 4cosx) = 0\]

Отсюда либо sinx = 0, либо \(\frac{1}{cosx} - 4cosx = 0\).

1) sinx = 0

x = \( \pi n \), где n \( \in \) Z

2) \(\frac{1}{cosx} - 4cosx = 0\)

\[\frac{1}{cosx} = 4cosx\]

\[1 = 4cos^2x\]

\[cos^2x = \frac{1}{4}\]

\[cosx = \pm \frac{1}{2}\]

Отсюда x = \(\pm \frac{\pi}{3} + \pi k\), где k \( \in \) Z.

б) Найдем все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([- \pi; \frac{\pi}{2}]\).

1) x = \( \pi n \)

\(- \pi \le \pi n \le \frac{\pi}{2}\)

\(-1 \le n \le \frac{1}{2}\)

n = -1, 0

x = -\( \pi \), 0

2) x = \(\frac{\pi}{3} + 2\pi k\)

\(- \pi \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k \le \frac{\pi}{2}\)

\(- \frac{4}{3} \le 2k \le \frac{1}{6}\)

\(- \frac{2}{3} \le k \le \frac{1}{12}\)

k = 0

x = \(\frac{\pi}{3}\)

3) x = \(- \frac{\pi}{3} + 2\pi k\)

\(- \pi \le -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le \frac{\pi}{2}\)

\(- \frac{2}{3} \le 2k \le \frac{5}{6}\)

\(- \frac{1}{3} \le k \le \frac{5}{12}\)

k = 0

x = \(- \frac{\pi}{3}\)

2. a) Решим уравнение \(\frac{cos2x + \sqrt{2}cosx + 1}{tgx - 1} = 0\);

Область определения: tgx \(
e \) 1, cosx \(
e \) 0.

tgx \(
e \) 1 при x \(
e \) \(\frac{\pi}{4} + \pi n\), n \( \in \) Z.

Уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю:

cos2x + \(\sqrt{2}\)cosx + 1 = 0

Используем формулу cos2x = 2\(cos^2x\) - 1:

2\(cos^2x\) - 1 + \(\sqrt{2}\)cosx + 1 = 0

2\(cos^2x\) + \(\sqrt{2}\)cosx = 0

cosx(2cosx + \(\sqrt{2}\)) = 0

Отсюда либо cosx = 0, либо 2cosx + \(\sqrt{2}\) = 0.

1) cosx = 0

x = \(\frac{\pi}{2} + \pi n\), n \( \in \) Z

Но при этом tgx не должен быть равен 1, поэтому эти корни не подходят, так как при x = \(\frac{\pi}{2} + \pi n\), tgx не существует.

2) 2cosx + \(\sqrt{2}\) = 0

\[cosx = -\frac{\sqrt{2}}{2}\]

x = \(\pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi k\), k \( \in \) Z

б) Найдем все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([\frac{3\pi}{2}; 3\pi]\).

1) x = \(\frac{3\pi}{4} + 2\pi k\)

\[\frac{3\pi}{2} \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le 3\pi\]

\[\frac{3}{2} \le \frac{3}{4} + 2k \le 3\]

\[\frac{3}{4} \le 2k \le \frac{9}{4}\]

\[\frac{3}{8} \le k \le \frac{9}{8}\]

k = 1

x = \(\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4}\)

2) x = \(- \frac{3\pi}{4} + 2\pi k\)

\[\frac{3\pi}{2} \le -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \le 3\pi\]

\[\frac{3}{2} \le -\frac{3}{4} + 2k \le 3\]

\[\frac{9}{4} \le 2k \le \frac{15}{4}\]

\[\frac{9}{8} \le k \le \frac{15}{8}\]

k = 2

x = \(- \frac{3\pi}{4} + 4\pi = \frac{13\pi}{4}\)