а) Решите уравнение (x² + 2x - 1)×(log₂(x²-3)+log₀.₅(√3-x)) = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2,5; -1,5].

Привет! Давай разберемся с этим уравнением по шагам.

а) Решение уравнения

Уравнение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. У нас два множителя:

1. Первый множитель: `(x² + 2x - 1)`
2. Второй множитель: `(log₂(x²-3) + log₀.₅(√3-x))`

Шаг 1: Решаем первое уравнение `x² + 2x - 1 = 0`

Это обычное квадратное уравнение. Воспользуемся формулой дискриминанта:

`D = b² - 4ac`

Здесь `a = 1`, `b = 2`, `c = -1`.

\[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8 \]

Теперь найдем корни по формуле:

`x = (-b ± √D) / 2a`

\[ x₁ = (-2 + \sqrt{8}) / 2 = (-2 + 2\sqrt{2}) / 2 = -1 + \sqrt{2} \]

\[ x₂ = (-2 - \sqrt{8}) / 2 = (-2 - 2\sqrt{2}) / 2 = -1 - \sqrt{2} \]

Шаг 2: Решаем второе уравнение `log₂(x²-3) + log₀.₅(√3-x) = 0`

Сначала нужно определить область допустимых значений (ОДЗ), чтобы выражения под логарифмами были положительными:

• `x² - 3 > 0` => `x² > 3` => `x < -√3` или `x > √3`
• `√3 - x > 0` => `√3 > x` => `x < √3`

Объединяя условия, получаем ОДЗ: `x < -√3`.

Теперь преобразуем логарифм по основанию 0,5. Помни, что `0.5 = 1/2 = 2⁻¹`.

`log₀.₅(√3-x) = log₂(√3-x) / log₂(0.5) = log₂(√3-x) / (-1) = -log₂(√3-x)`

Подставим это обратно в уравнение:

\[ log₂(x²-3) - log₂(√3-x) = 0 \]

Перенесем второй логарифм вправо:

\[ log₂(x²-3) = log₂(√3-x) \]

Так как основания логарифмов одинаковые, приравниваем аргументы:

\[ x² - 3 = √3 - x \]

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x² + x - (3 + √3) = 0 \]

Найдем дискриминант:

`a = 1`, `b = 1`, `c = -(3 + √3)`

\[ D = 1² - 4 \cdot 1 \cdot (-(3 + √3)) = 1 + 4(3 + √3) = 1 + 12 + 4√3 = 13 + 4√3 \]

Найдем корни:

\[ x₃ = (-1 + \sqrt{13 + 4\sqrt{3}}) / 2 \]

\[ x₄ = (-1 - \sqrt{13 + 4\sqrt{3}}) / 2 \]

Теперь нужно проверить, подходят ли эти корни под ОДЗ `x < -√3`. Заметим, что `√3 ≈ 1.732`.

Рассмотрим `x₃`: `√{13 + 4√3} ≈ √{13 + 4*1.732} ≈ √{13 + 6.928} ≈ √{19.928} ≈ 4.46`. Тогда `x₃ ≈ (-1 + 4.46) / 2 = 3.46 / 2 = 1.73`. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ (`1.73` не меньше `-1.732`).

Рассмотрим `x₄`: `x₄ ≈ (-1 - 4.46) / 2 = -5.46 / 2 = -2.73`. Этот корень удовлетворяет ОДЗ (`-2.73 < -1.732`).

Шаг 3: Объединяем корни

Итак, корни исходного уравнения: `-1 + √2`, `-1 - √2`, и `(-1 - √{13 + 4√3}) / 2`.

Приближенные значения:

• `x₁ = -1 + √2 ≈ -1 + 1.414 = 0.414`
• `x₂ = -1 - √2 ≈ -1 - 1.414 = -2.414`
• `x₄ ≈ -2.73`

б) Корни на отрезке [-2,5; -1,5]

Теперь посмотрим, какие из найденных корней попадают в заданный отрезок `[-2.5; -1.5]`.

• `x₁ ≈ 0.414` — не попадает.
• `x₂ ≈ -2.414` — попадает в отрезок `[-2.5; -1.5]`, так как `-2.5 < -2.414 < -1.5`.
• `x₄ ≈ -2.73` — не попадает в отрезок `[-2.5; -1.5]`, так как `-2.73 < -2.5`.

Ответ:

а) Корни уравнения: `-1 + √2`, `-1 - √2`, `(-1 - √{13 + 4√3}) / 2`.

б) Корень, принадлежащий отрезку [-2,5; -1,5]: `-1 - √2`.