a) Решите уравнение 2 cos (x - π/3) + 2 sin (3π/2 - x) = 0.

Решение:

Используем тригонометрические тождества:

• \( \sin(\frac{3\pi}{2} - x) = -\cos(x) \)

Подставляем в исходное уравнение:

\( 2 \cos(x - \frac{\pi}{3}) + 2(-\cos(x)) = 0 \)

Раскрываем скобки:

\( 2 \cos(x - \frac{\pi}{3}) - 2 \cos(x) = 0 \)

Делим обе части на 2:

\( \cos(x - \frac{\pi}{3}) - \cos(x) = 0 \)

Используем формулу разности косинусов: \( \cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} \)

В нашем случае \( A = x - \frac{\pi}{3} \) и \( B = x \).

\( -2 \sin \frac{(x - \frac{\pi}{3}) + x}{2} \sin \frac{(x - \frac{\pi}{3}) - x}{2} = 0 \)

Упрощаем:

\( -2 \sin \frac{2x - \frac{\pi}{3}}{2} \sin \frac{-\frac{\pi}{3}}{2} = 0 \)

\( -2 \sin(x - \frac{\pi}{6}) \sin(-\frac{\pi}{6}) = 0 \)

Так как \( \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} \), подставляем:

\( -2 \sin(x - \frac{\pi}{6}) (-\frac{1}{2}) = 0 \)

\( \sin(x - \frac{\pi}{6}) = 0 \)

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

\( x - \frac{\pi}{6} = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \)

\( x = \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \)