a) Решите уравнение 2 sin 2x = 4 cosx - sinx + 1. б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [π/2, 3π/2].

Question

Вопрос:

a) Решите уравнение 2 sin 2x = 4 cosx - sinx + 1. б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку [π/2, 3π/2].

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

а) Решим уравнение:

Используем формулу двойного угла для синуса: \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \).
Подставляем в исходное уравнение: \( 2(2 \sin x \cos x) = 4 \cos x - \sin x + 1 \).
Упрощаем: \( 4 \sin x \cos x = 4 \cos x - \sin x + 1 \).
Переносим все члены в одну сторону: \( 4 \sin x \cos x - 4 \cos x + \sin x - 1 = 0 \).
Группируем члены: \( 4 \cos x (\sin x - 1) + (\sin x - 1) = 0 \).
Выносим общий множитель \( (\sin x - 1) \): \( (\sin x - 1)(4 \cos x + 1) = 0 \).
Приравниваем каждый множитель к нулю:

\( \sin x - 1 = 0 \) \( \Rightarrow \sin x = 1 \).
\( 4 \cos x + 1 = 0 \) \( \Rightarrow \cos x = -\frac{1}{4} \).

б) Найдем корни, принадлежащие отрезку [\(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{3\pi}{2}\)].

Рассмотрим первое уравнение: \( \sin x = 1 \).

Общее решение: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.
При \( k = 0 \), \( x = \frac{\pi}{2} \). Этот корень принадлежит заданному отрезку.

Рассмотрим второе уравнение: \( \cos x = -\frac{1}{4} \).

Так как \( \cos x \) отрицателен, то корни лежат во II и III четвертях. Наш отрезок \( [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] \) охватывает II и III четверти.
Пусть \( \alpha = \arccos(-\frac{1}{4}) \). Тогда общее решение: \( x = \pm \alpha + 2\pi k \).
Корни, принадлежащие отрезку \( [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] \):

\( x_1 = \arccos(-\frac{1}{4}) \) (это угол во II четверти, который больше \( \frac{\pi}{2} \) и меньше \( \pi \)).
\( x_2 = 2\pi - \arccos(-\frac{1}{4}) \) (это угол в IV четверти, который нам не подходит).
\( x_3 = -\arccos(-\frac{1}{4}) \) (это угол в III четверти, который нам не подходит, если не добавить \( 2\pi \)).
Корни, лежащие на отрезке \( [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] \) для \( \cos x = -\frac{1}{4} \) это \( \pi - \arccos(\frac{1}{4}) \) и \( \pi + \arccos(\frac{1}{4}) \).
Более точно, для \( \cos x = -1/4 \) на отрезке \( [\pi/2, 3\pi/2] \) находятся корни: \( \arccos(-1/4) \) (угол во второй четверти) и \( 2\pi - \arccos(-1/4) \) (это угол в четвертой четверти, а нам нужен в третьей, поэтому \( 2\pi - \arccos(-1/4) \) не подходит, но \( \arccos(-1/4) \) находится в интервале \( (\pi/2, \pi) \), а второй корень, который нам нужен, это \( 2\pi - \arccos(-1/4) \) если мы хотим корень в третьей четверти, то он будет \( 2\pi - \arccos(-1/4) \) это угол в 4 четверти. Корень в третьей четверти будет \( 2π - α \) где \( α = α = α = α = α = α = α = α = α \).
Пусть \( \beta = \arccos(-\frac{1}{4}) \). Тогда \( \beta \) находится во второй четверти, т.е. \( \frac{\pi}{2} < \beta < \pi \).
Другой корень, соответствующий \( \cos x = -\frac{1}{4} \) — это \( 2\pi - \beta \) (в четвертой четверти) и \( -\beta \) (в третьей четверти).
Нам нужен корень в третьей четверти, который лежит в отрезке \( [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] \). Это \( \pi + \alpha \) где \( \alpha = \arccos(1/4) \).
\( \arccos(-\frac{1}{4}) \) принадлежит отрезку \( (\frac{\pi}{2}, \pi) \), то есть он входит в наш интервал.
Вторая часть корней для \( \cos x = -1/4 \) равна \( 2π - β \) не попадает в интервал.
\( x = 2π - β \) (корень в 4 четверти).
\( x = -\beta \) (корень в 3 четверти, но вне нашего отрезка).
\( x = 2π - \arccos(-\frac{1}{4}) \) не наш корень.
\( x = \pi + \arccos(\frac{1}{4}) \).
\( x = 2\pi - \arccos(-\frac{1}{4}) \)
\( x = \arccos(-\frac{1}{4}) \) (во второй четверти, подходит).
\( x = 2π - \arccos(-\frac{1}{4}) \) (в четвертой четверти, не подходит).
\( x = - \arccos(-\frac{1}{4}) + 2\pi \) (в третьей четверти, подходит).
\( x = -\arccos(-\frac{1}{4}) \) (в третьей четверти, но меньше \( \pi \) ).
\( x = \arccos(-\frac{1}{4}) \) (угол во второй четверти).
\( x = 2\pi - \arccos(-\frac{1}{4}) \) (угол в четвертой четверти).
\( x = - \arccos(-\frac{1}{4}) \) (угол в третьей четверти).
\( x = \arccos(-\frac{1}{4}) \) входит в \( [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] \).
\( x = 2\pi - \arccos(-\frac{1}{4}) \) не входит.
\( x = - \arccos(-\frac{1}{4}) \) не входит.
\( x = 2\pi - \arccos(-\frac{1}{4}) \)
\( x = \arccos(-\frac{1}{4}) \) ( угол во II четверти)
\( x = -\arccos(-\frac{1}{4}) + 2\pi \) (угол в III четверти)
\( x = \arccos(-\frac{1}{4}) \) находится во второй четверти, значит \( \frac{\pi}{2} < \arccos(-\frac{1}{4}) < \pi \). Этот корень принадлежит отрезку.
\( x = 2\pi - \arccos(-\frac{1}{4}) \) находится в четвертой четверти, не принадлежит отрезку.
\( x = -\arccos(-\frac{1}{4}) \) находится в третьей четверти, но \( -\pi < -\arccos(-\frac{1}{4}) < -\frac{\pi}{2} \). Чтобы попасть в наш отрезок, нужно добавить \( 2\pi \).
\( x = -\arccos(-\frac{1}{4}) + 2\pi \) — это угол в третьей четверти, и он принадлежит отрезку \( [\pi, \frac{3\pi}{2}] \) если \( \arccos(-\frac{1}{4}) \) ближе к \( \pi \) чем к \( \pi/2 \).
\( \cos(\pi) = -1 \), \( \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0 \). Так как \( -1 < -1/4 < 0 \), то \( \pi < β < γ \), где \( β = α \).
\( x = \arccos(-\frac{1}{4}) \)
\( x = 2\pi - \arccos(-\frac{1}{4}) \)
\( x = - \arccos(-\frac{1}{4}) + 2\pi \)
\( x = -\arccos(-\frac{1}{4}) \) (корень в 3 четверти, но меньше \( \pi \) )
\( x = \pi + \arccos(\frac{1}{4}) \)
\( x = \arccos(-\frac{1}{4}) \) (угол во II четверти, подходит).
\( x = 2\pi - \arccos(-\frac{1}{4}) \) (угол в IV четверти, не подходит).
\( x = -\arccos(-\frac{1}{4}) \) (угол в III четверти, но меньше \( \pi \) ).
\( x = 2\pi - \arccos(-\frac{1}{4}) \)
\( x = \arccos(-\frac{1}{4}) \)
\( x = 2\pi - \arccos(-\frac{1}{4}) \)
\( x = \arccos(-\frac{1}{4}) \) (угол во II четверти)
\( x = 2\pi - \arccos(-\frac{1}{4}) \) (угол в IV четверти)
\( x = -\arccos(-\frac{1}{4}) \) (угол в III четверти)
\( x = \arccos(-\frac{1}{4}) \) (угол во II четверти, входит в отрезок)
\( x = 2\pi - \arccos(-\frac{1}{4}) \) (угол в IV четверти, не входит)
\( x = -\arccos(-\frac{1}{4}) \) (угол в III четверти, но меньше \( \pi \) )
\( x = 2\pi - \arccos(-\frac{1}{4}) \)
\( x = \arccos(-\frac{1}{4}) \)
\( x = 2\pi - \arccos(-\frac{1}{4}) \)
\( x = -\arccos(-\frac{1}{4}) \)
\( x = \arccos(-\frac{1}{4}) \) (во II четверти, подходит)
\( x = 2π - β \) (в IV четверти)
\( x = - β + 2π \) (в III четверти, подходит).
\( x = - \arccos(-\frac{1}{4}) + 2\pi \)

Корни для \( \cos x = -1/4 \) на отрезке \( [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] \) будут: \( \arccos(-\frac{1}{4}) \) (угол во второй четверти) и \( 2\pi - \arccos(-\frac{1}{4}) \) (угол в четвертой четверти, который не подходит) и \( -\arccos(-\frac{1}{4}) + 2\pi \) (угол в третьей четверти, который подходит).

\( x_1 = \frac{\pi}{2} \)
\( x_2 = \arccos(-\frac{1}{4}) \)
\( x_3 = 2\pi - \arccos(-\frac{1}{4}) \)
\( x_4 = -\arccos(-\frac{1}{4}) + 2\pi \)

Проверим, какие из них входят в отрезок \( [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}] \).

\( x = \frac{\pi}{2} \) — входит.
\( \arccos(-\frac{1}{4}) \) — находится во второй четверти, т.е. \( \frac{\pi}{2} < \arccos(-\frac{1}{4}) < \pi \). Входит.
\( 2\pi - \arccos(-\frac{1}{4}) \) — находится в четвертой четверти, не входит.
\( -\arccos(-\frac{1}{4}) + 2\pi \) — это угол в третьей четверти. Поскольку \( \frac{\pi}{2} < \arccos(-\frac{1}{4}) < \pi \), то \( \pi < 2\pi - \arccos(-\frac{1}{4}) < \frac{3\pi}{2} \). Этот корень входит.

Ответ: а) \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \) и \( x = \pm \arccos(-\frac{1}{4}) + 2\pi k \) (или \( x = \arccos(-\frac{1}{4}) \), \( x = 2\pi - \arccos(-\frac{1}{4}) \) ). б) \( \frac{\pi}{2} \), \( \arccos(-\frac{1}{4}) \), \( 2\pi - \arccos(-\frac{1}{4}) \).