a) Решите уравнение 2sin^2(3π/2 + x) = cos.x. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-3π/2, 0].

Решение:

а) Решим уравнение:

Данное уравнение:

\[ 2\sin^2\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \cos x \]

Воспользуемся формулой приведения \( \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos \alpha \).

Подставляем в уравнение:

\[ 2(-\cos x)^2 = \cos x \]\[ 2\cos^2 x = \cos x \]\[ 2\cos^2 x - \cos x = 0 \]\[ \cos x (2\cos x - 1) = 0 \]

Отсюда получаем два случая:

1. \( \cos x = 0 \)

Общее решение для этого случая:

\[ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

2. \( 2\cos x - 1 = 0 \)

\( \cos x = \frac{1}{2} \)

Общее решение для этого случая:

\[ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

б) Найдем корни, принадлежащие промежутку \( \left[-\frac{3\pi}{2}, 0\right] \).

Рассмотрим первый случай: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k \).

• При \( k = -1 \): \( x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2} \). Этот корень принадлежит промежутку.
• При \( k = -2 \): \( x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2} \). Этот корень принадлежит промежутку.
• При \( k = 0 \): \( x = \frac{\pi}{2} \). Этот корень не принадлежит промежутку.

Рассмотрим второй случай: \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \).

• При \( n = -1 \): \( x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3} \). Этот корень не принадлежит промежутку (\( -\frac{5\pi}{3} \) ≈ -5.23, а \( -\frac{3\pi}{2} \) ≈ -4.71).
• При \( n = 0 \): \( x = \frac{\pi}{3} \). Этот корень не принадлежит промежутку.

Рассмотрим третий случай: \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \).

• При \( n = 0 \): \( x = -\frac{\pi}{3} \). Этот корень принадлежит промежутку.
• При \( n = -1 \): \( x = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3} \). Этот корень не принадлежит промежутку.
• При \( n = 1 \): \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} \). Этот корень не принадлежит промежутку.

Проверим также корни вида \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \) для \( n=0 \) и \( n=1 \), чтобы быть уверенными.

Для \( n = 0 \): \( x = -\frac{\pi}{3} \) (приблизительно -1.05). Это значение находится между \( -\frac{3\pi}{2} \) (приблизительно -4.71) и \( 0 \). Следовательно, \( -\frac{\pi}{3} \) принадлежит промежутку.

Для \( n = 1 \): \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} \) (приблизительно 5.23). Это значение больше \( 0 \), поэтому не принадлежит промежутку.

Проверим корень \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \) для \( n = -1 \): \( x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3} \) (приблизительно -5.23). Это значение меньше \( -\frac{3\pi}{2} \), поэтому не принадлежит промежутку.

Итак, корни, принадлежащие промежутку \( \left[-\frac{3\pi}{2}, 0\right] \), это: \( -\frac{3\pi}{2} \), \( -\frac{\pi}{2} \), \( -\frac{\pi}{3} \).

Ответ: а) \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k, x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z} \)

б) \( -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{3} \)