А1. Решите уравнение: a) 2sinx = √2; б) cosx = √3/2; в) cosx = 4/5; г) ctgx = 1/√3 А2. Решите уравнение: a) cos(x/2) = (-1/2); б) sin(x + π/4) = 1/2. АЗ. Решите неравенство: cos x ≤ (-√3/2). В1. Решите уравнение: cos 4x sin 5x - cos 5x sin 4x = 1.

А1. Решите уравнение:

a) 2sinx = √2

1. Выразим sinx:

   \[ sinx = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

2. Найдем значения x:

   \[ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \[ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

б) cosx = √3/2

1. Найдем значения x:

   \[ x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \[ x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

в) cosx = 4/5

1. Найдем значения x:

   \[ x = \pm arccos(\frac{4}{5}) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \[ x = \pm arccos(\frac{4}{5}) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

г) ctgx = 1/√3

1. Найдем значения x:

   \[ x = \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \[ x = \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

А2. Решите уравнение:

a) cos(x/2) = (-1/2)

1. Найдем значения x/2:

   \[ \frac{x}{2} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

2. Умножим на 2:

   \[ x = \pm \frac{4\pi}{3} + 4\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \[ x = \pm \frac{4\pi}{3} + 4\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

б) sin(x + π/4) = 1/2

1. Найдем значения x + π/4:

   \[ x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

2. Вычтем π/4:

   \[ x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

   \[ x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi k, \quad x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \[ x = -\frac{\pi}{12} + 2\pi k, \quad x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

АЗ. Решите неравенство: cos x ≤ (-√3/2)

1. Найдем значения x:

   \[ \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \[ \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le x \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

В1. Решите уравнение: cos 4x sin 5x - cos 5x sin 4x = 1

1. Упростим уравнение:

   \[ sin(5x - 4x) = 1 \]

   \[ sin(x) = 1 \]

2. Найдем значения x:

   \[ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \[ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]