А1. Решите уравнение: a) x²-3x+2/2-x = 0; б) x+4=5/x; в) x/x+5 + x+5/x-5 = 50/x²-25 А2. Первый лыжник проходит расстояние 20 км на 20 мин быстрее второго, так как его скорость на 2 км/ч больше. Найдите скорость первого и скорость второго лыжника. В1. Найдите корни уравнения: x-3/x-2 + x-2/x-3 = 2 1/2.

Решение А1

a) \[\frac{x^2 - 3x + 2}{2 - x} = 0\]

Краткое пояснение: Чтобы решить уравнение, нужно найти значения x, при которых числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Приравняем числитель к нулю: \[x^2 - 3x + 2 = 0\]

2. Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. Найдем корни по теореме Виета:

   • Сумма корней: \(x_1 + x_2 = 3\)
   • Произведение корней: \(x_1 \cdot x_2 = 2\)

   Подходящие корни: \(x_1 = 1\), \(x_2 = 2\)

3. Проверим, чтобы знаменатель не был равен нулю: \[2 - x
   eq 0 \Rightarrow x
   eq 2\]

4. Таким образом, \(x = 1\) является единственным решением.

Ответ: x = 1

б) \(x + 4 = \frac{5}{x}\)

1. Умножим обе части уравнения на x (x ≠ 0): \[x(x + 4) = 5\]
2. Раскроем скобки и перенесем все в одну сторону: \[x^2 + 4x - 5 = 0\]
3. Решим квадратное уравнение. Используем теорему Виета:
   • Сумма корней: \(x_1 + x_2 = -4\)
   • Произведение корней: \(x_1 \cdot x_2 = -5\)

   Подходящие корни: \(x_1 = 1\), \(x_2 = -5\)

Ответ: x = 1, x = -5

в) \(\frac{x}{x+5} + \frac{x+5}{x-5} = \frac{50}{x^2-25}\)

1. Общий знаменатель: \((x+5)(x-5) = x^2 - 25\)
2. Приведём дроби к общему знаменателю: \[\frac{x(x-5)}{(x+5)(x-5)} + \frac{(x+5)(x+5)}{(x-5)(x+5)} = \frac{50}{x^2-25}\]
3. Упростим числители: \[\frac{x^2 - 5x + x^2 + 10x + 25}{x^2 - 25} = \frac{50}{x^2-25}\]
4. Так как знаменатели равны, приравняем числители: \[2x^2 + 5x + 25 = 50\]
5. Перенесём всё в одну сторону: \[2x^2 + 5x - 25 = 0\]
6. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-25) = 25 + 200 = 225\] \[x_1 = \frac{-5 + \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 15}{4} = \frac{10}{4} = 2.5\] \[x_2 = \frac{-5 - \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 15}{4} = \frac{-20}{4} = -5\]
7. Проверим ОДЗ: \(x
   eq \pm 5\). Значит, \(x_2 = -5\) не является решением.

Ответ: x = 2.5

Решение А2

Пусть скорость второго лыжника равна \(v\) км/ч, тогда скорость первого лыжника равна \(v + 2\) км/ч.

Время, которое первый лыжник тратит на дистанцию: \(t_1 = \frac{20}{v+2}\)

Время, которое второй лыжник тратит на дистанцию: \(t_2 = \frac{20}{v}\)

Из условия известно, что первый лыжник проходит дистанцию на 20 минут быстрее второго, то есть на \(\frac{1}{3}\) часа.

Составим уравнение: \[\frac{20}{v} - \frac{20}{v+2} = \frac{1}{3}\]

1. Приведём к общему знаменателю: \[\frac{20(v+2) - 20v}{v(v+2)} = \frac{1}{3}\]
2. Упростим числитель: \[\frac{20v + 40 - 20v}{v^2 + 2v} = \frac{1}{3}\] \[\frac{40}{v^2 + 2v} = \frac{1}{3}\]
3. Умножим крест-накрест: \[v^2 + 2v = 120\]
4. Перенесём всё в одну сторону: \[v^2 + 2v - 120 = 0\]
5. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484\] \[v_1 = \frac{-2 + \sqrt{484}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 22}{2} = \frac{20}{2} = 10\] \[v_2 = \frac{-2 - \sqrt{484}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 22}{2} = \frac{-24}{2} = -12\]
6. Так как скорость не может быть отрицательной, то скорость второго лыжника \(v = 10\) км/ч.
7. Скорость первого лыжника: \(v + 2 = 10 + 2 = 12\) км/ч.

Ответ: Скорость первого лыжника 12 км/ч, скорость второго лыжника 10 км/ч.

Решение B1

\[\frac{x-3}{x-2} + \frac{x-2}{x-3} = 2\frac{1}{2}\]

1. Пусть \(t = \frac{x-3}{x-2}\), тогда уравнение примет вид: \[t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}\]
2. Умножим обе части уравнения на \(2t\) (\(t
   eq 0\)): \[2t^2 + 2 = 5t\]
3. Перенесём всё в одну сторону: \[2t^2 - 5t + 2 = 0\]
4. Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9\] \[t_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2\] \[t_2 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\]
5. Вернёмся к замене:
6. a) \(\frac{x-3}{x-2} = 2\) \[x - 3 = 2(x - 2)\] \[x - 3 = 2x - 4\] \[x = 1\]
7. b) \(\frac{x-3}{x-2} = \frac{1}{2}\) \[2(x - 3) = x - 2\] \[2x - 6 = x - 2\] \[x = 4\]

Ответ: x = 1, x = 4