а) Решите уравнение cos (3π/2 + 2x) = cos x. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π/2; 4π].

Решение:

1. Шаг 1: Упрощение уравнения.

   Используем формулу приведения: \[\cos \left(\frac{3\pi}{2} + 2x\right) = \sin(2x).\]

   Тогда уравнение примет вид: \[\sin(2x) = \cos x.\]

2. Шаг 2: Преобразование уравнения.

   Используем формулу двойного угла: \[\sin(2x) = 2\sin x \cos x.\]

   Уравнение принимает вид: \[2\sin x \cos x = \cos x.\]

3. Шаг 3: Решение уравнения.

   Перенесем все в одну сторону: \[2\sin x \cos x - \cos x = 0.\]

   Вынесем \(\cos x\) за скобки: \[\cos x(2\sin x - 1) = 0.\]

   Получаем два случая:

   • \[\cos x = 0\]
   • \[2\sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}\]
4. Шаг 4: Решение первого случая.

   Решение уравнения \(\cos x = 0\) имеет вид: \[x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.\]

5. Шаг 5: Решение второго случая.

   Решение уравнения \(\sin x = \frac{1}{2}\) имеет вид: \[x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m, \quad n, m \in \mathbb{Z}.\]

6. Шаг 6: Отбор корней, принадлежащих отрезку \[\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]\] для первого случая.

   Рассмотрим корни вида \[x = \frac{\pi}{2} + \pi k.\]

   Для \(k = 2\): \[x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} = 2.5\pi.\]

   Для \(k = 3\): \[x = \frac{\pi}{2} + 3\pi = \frac{7\pi}{2} = 3.5\pi.\]

   Для \(k = 4\): \[x = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2} = 4.5\pi\) - не принадлежит отрезку.

   Таким образом, корни \[\frac{5\pi}{2}\] и \[\frac{7\pi}{2}\] принадлежат заданному отрезку.

7. Шаг 7: Отбор корней, принадлежащих отрезку \[\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]\] для второго случая.

   Рассмотрим корни вида \[x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n.\]

   Для \(n = 1\): \[x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} \approx 2.16\pi\) - не принадлежит отрезку.

   Для \(n = 2\): \[x = \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{25\pi}{6} \approx 4.16\pi\) - не принадлежит отрезку.

   Рассмотрим корни вида \[x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m.\]

   Для \(m = 1\): \[x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6} \approx 2.83\pi.\]

   Для \(m = 2\): \[x = \frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{29\pi}{6} \approx 4.83\pi\) - не принадлежит отрезку.

   Таким образом, корень \[\frac{17\pi}{6}\] принадлежит заданному отрезку.

Ответ:

а) \[x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m, \quad k, n, m \in \mathbb{Z}.\]

б) \[\frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}, \frac{17\pi}{6}.\]