а) Решите уравнение 1 2 cos ( 3π 2 + 2x ) 1 = cos x - sin x . 6) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку п; 5π 2

Ответ: \(\frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\)

Решение:

а) Решим уравнение: \[\frac{1}{2} \cos \left(\frac{3\pi}{2} + 2x\right) - 1 = \cos x - \sin x\]

Используем формулу приведения \(\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin(\alpha)\):

\[\frac{1}{2} \sin(2x) - 1 = \cos x - \sin x\]

Применим формулу двойного угла \(\sin(2x) = 2 \sin x \cos x\):

\[\frac{1}{2} \cdot 2 \sin x \cos x - 1 = \cos x - \sin x\] \[\sin x \cos x - 1 = \cos x - \sin x\]

Перенесем все в левую часть:

\[\sin x \cos x - \cos x + \sin x - 1 = 0\]

Сгруппируем и вынесем общие множители:

\[\cos x(\sin x - 1) + (\sin x - 1) = 0\] \[(\sin x - 1)(\cos x + 1) = 0\]

Получаем два случая:

1. \(\sin x - 1 = 0\)
2. \(\cos x + 1 = 0\)

Решаем первый случай:

\[\sin x = 1\] \[x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\]

Решаем второй случай:

\[\cos x = -1\] \[x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]

б) Укажем все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \([\pi; \frac{5\pi}{2}]\).

Для первого случая:

\[x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\]

Подставляем \(n = 0\): \(x = \frac{\pi}{2}\) (не принадлежит промежутку)

Подставляем \(n = 1\): \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}\) (принадлежит промежутку)

Для второго случая:

\[x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]

Подставляем \(k = 0\): \(x = \pi\) (принадлежит промежутку)

Подставляем \(k = 1\): \(x = \pi + 2\pi = 3\pi\) (не принадлежит промежутку)

Таким образом, корни, принадлежащие заданному промежутку: \(\pi, \frac{5\pi}{2}\).

Объединим решения \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\) и \(x = \pi + 2\pi k\). Заметим, что \(\pi + 2\pi k = \frac{2\pi}{2} + 2\pi k\). Таким образом, можно записать общее решение как \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\).

Теперь найдем корни, принадлежащие промежутку \([\pi; \frac{5\pi}{2}]\).

При \(n = 1\): \(x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}\) (принадлежит промежутку)

При \(n = 2\): \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}\) (принадлежит промежутку)

При \(n = 0\): \(x = \frac{\pi}{2}\) (не принадлежит промежутку)

При \(n = 3\): \(x = \frac{\pi}{2} + 3\pi = \frac{7\pi}{2}\) (не принадлежит промежутку)

Таким образом, корни, принадлежащие заданному промежутку: \(\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\).

Ответ: \(\frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\)