а) Решите уравнение 2sinx-√2 cos2x = 2sinx. 6) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку: 3π [3]

Решение:

а) Решим уравнение: \[ 2\sin^2 x - \sqrt{2} \cos^2 x = 2\sin x \]

Преобразуем уравнение, используя основное тригонометрическое тождество \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \):

\[ 2\sin^2 x - \sqrt{2} (1 - \sin^2 x) = 2\sin x \]

\[ 2\sin^2 x - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sin^2 x - 2\sin x = 0 \]

\[ (2 + \sqrt{2}) \sin^2 x - 2\sin x - \sqrt{2} = 0 \]

Пусть \( t = \sin x \), тогда уравнение принимает вид:

\[ (2 + \sqrt{2}) t^2 - 2t - \sqrt{2} = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно \( t \):

\[ D = (-2)^2 - 4(2 + \sqrt{2})(-\sqrt{2}) = 4 + 8\sqrt{2} + 8 = 12 + 8\sqrt{2} = 4(3 + 2\sqrt{2}) = 4(1 + 2\sqrt{2} + 2) = 4(1 + \sqrt{2})^2 \]

\[ t_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4(1 + \sqrt{2})^2}}{2(2 + \sqrt{2})} = \frac{2 \pm 2(1 + \sqrt{2})}{2(2 + \sqrt{2})} = \frac{1 \pm (1 + \sqrt{2})}{2 + \sqrt{2}} \]

\[ t_1 = \frac{1 + 1 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = 1 \]

\[ t_2 = \frac{1 - (1 + \sqrt{2})}{2 + \sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2}(2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \frac{-2\sqrt{2} + 2}{4 - 2} = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{2} = 1 - \sqrt{2} \]

Вернемся к замене:

\[ \sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \]

\[ \sin x = 1 - \sqrt{2} \approx -0.414 \]

Однако, данное уравнение имеет решение, так как \( -1 \le 1 - \sqrt{2} \le 1 \). Примем во внимание, что арксинус \( 1 - \sqrt{2} \) – отрицательное число, значит, данное число лежит в 3 или 4 четверти. То есть корни будут иметь вид: \( x = (-1)^k \arcsin (1 - \sqrt{2}) + \pi k \)

Упростим уравнение, используя тот факт, что в условии указано: \( 2\sin^3 x - \sqrt{2} \cos^2 x = 2\sin x \). Перенесем \( 2\sin x \) в левую часть и вынесем за скобку: \( 2\sin x (\sin^2 x - 1) - \sqrt{2} \cos^2 x = 0 \). Тогда \( -2\sin x \cos^2 x - \sqrt{2} \cos^2 x = 0 \). Вынесем \( \cos^2 x \) за скобку: \( \cos^2 x (-2\sin x - \sqrt{2}) = 0 \). Значит, или \( \cos^2 x = 0 \) или \( -2\sin x - \sqrt{2} = 0 \). В первом случае \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), во втором случае \( \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \), то есть \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \) или \( x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \)

Тогда \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \), \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \), \( x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \). Объединяя две последние серии, получим: \( x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi n \)

Объединяя с первой, получим: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \)

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку \( [\frac{3\pi}{2}; 3\pi] \):

Найдем корни из серии \( x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), принадлежащие данному отрезку:

\[ \frac{3\pi}{2} \le \frac{\pi}{4} + \pi n \le 3\pi \]

\[ \frac{3}{2} \le \frac{1}{4} + n \le 3 \]

\[ \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \le n \le 3 - \frac{1}{4} \]

\[ \frac{6 - 1}{4} \le n \le \frac{12 - 1}{4} \]

\[ \frac{5}{4} \le n \le \frac{11}{4} \]

\[ 1.25 \le n \le 2.75 \]

Значит, \( n = 2 \), тогда \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{\pi + 8\pi}{4} = \frac{9\pi}{4} \)