a) S(sinx+2x^3+ 5lnx-3)dx

Краткое пояснение:

Это интеграл от суммы функций. Для его вычисления мы можем проинтегрировать каждую функцию по отдельности, используя стандартные правила интегрирования.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Интегрируем sin(x). Интеграл от sin(x) равен -cos(x).
• Шаг 2: Интегрируем 2x³. Используем правило степенной функции: \( \int ax^n dx = a \frac{x^{n+1}}{n+1} \). Здесь \( a=2 \) и \( n=3 \). Получаем \( 2 \frac{x^{3+1}}{3+1} = 2 \frac{x^4}{4} = \frac{1}{2}x^4 \).
• Шаг 3: Интегрируем 5ln(x). Интеграл от ln(x) равен \( x\ln(x) - x \). Умножаем на 5: \( 5(x\ln(x) - x) \).
• Шаг 4: Интегрируем -3. Интеграл от константы \( c \) равен \( cx \). Здесь \( c=-3 \), получаем \( -3x \).
• Шаг 5: Объединяем все результаты и добавляем константу интегрирования \( C \).

Ответ: \( -\cos(x) + \frac{1}{2}x^4 + 5(x\ln(x) - x) - 3x + C \)