6 a) S (3x²+5x² - 2) dx off (xx-5) dx 3 b) Sx+5 dx 12 2) √(x²-2x+3) dx g) S (3cosx - 2 tg x + 7 ctg x ) dx dx e) x²+49

Ответ: Сейчас разберем все интегралы!

a) \(\int (3x^4 + 5x^2 - 2) dx\)

• Шаг 1: Применяем правило интегрирования суммы/разности: \(\int (f(x) + g(x) - h(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx - \int h(x) dx\)
• Шаг 2: Разбиваем интеграл на части: \[\int 3x^4 dx + \int 5x^2 dx - \int 2 dx\]
• Шаг 3: Выносим константы за знак интеграла: \[3 \int x^4 dx + 5 \int x^2 dx - 2 \int dx\]
• Шаг 4: Применяем правило интегрирования степенной функции: \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) \[3 \cdot \frac{x^5}{5} + 5 \cdot \frac{x^3}{3} - 2x + C\]

Ответ:

\[\frac{3}{5}x^5 + \frac{5}{3}x^3 - 2x + C\]

б) \(\int (x\sqrt{x} - \frac{5}{x^3}) dx\)

• Шаг 1: Преобразуем \(x\sqrt{x}\) в \(x^{3/2}\) и \(\frac{5}{x^3}\) в \(5x^{-3}\) \[\int (x^{3/2} - 5x^{-3}) dx\]
• Шаг 2: Применяем правило интегрирования суммы/разности: \[\int x^{3/2} dx - \int 5x^{-3} dx\]
• Шаг 3: Выносим константу за знак интеграла: \[\int x^{3/2} dx - 5 \int x^{-3} dx\]
• Шаг 4: Применяем правило интегрирования степенной функции: \[\frac{x^{5/2}}{5/2} - 5 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} + C\]
• Шаг 5: Упрощаем выражение: \[\frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{5}{2}x^{-2} + C\]

Ответ:

\[\frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{5}{2x^2} + C\]

в) \(\int \frac{3}{x+5} dx\)

• Шаг 1: Выносим константу за знак интеграла: \[3 \int \frac{1}{x+5} dx\]
• Шаг 2: Применяем правило интегрирования \(\int \frac{1}{x+a} dx = \ln|x+a| + C\) \[3 \ln|x+5| + C\]

Ответ:

\[3 \ln|x+5| + C\]

г) \(\int (\frac{2}{3}x^2 - \frac{1}{2}x + 3) dx\)

• Шаг 1: Применяем правило интегрирования суммы/разности: \[\int \frac{2}{3}x^2 dx - \int \frac{1}{2}x dx + \int 3 dx\]
• Шаг 2: Выносим константы за знак интеграла: \[\frac{2}{3} \int x^2 dx - \frac{1}{2} \int x dx + 3 \int dx\]
• Шаг 3: Применяем правило интегрирования степенной функции: \[\frac{2}{3} \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C\]
• Шаг 4: Упрощаем выражение: \[\frac{2}{9}x^3 - \frac{1}{4}x^2 + 3x + C\]

Ответ:

\[\frac{2}{9}x^3 - \frac{1}{4}x^2 + 3x + C\]

д) \(\int (3\cos x - 2\tan x + 7\operatorname{ctg} x) dx\)

• Шаг 1: Применяем правило интегрирования суммы/разности: \[\int 3\cos x dx - \int 2\tan x dx + \int 7\operatorname{ctg} x dx\]
• Шаг 2: Выносим константы за знак интеграла: \[3 \int \cos x dx - 2 \int \tan x dx + 7 \int \operatorname{ctg} x dx\]
• Шаг 3: Применяем табличные интегралы: \[3 \sin x - 2(-\ln|\cos x|) + 7 \ln|\sin x| + C\]
• Шаг 4: Упрощаем выражение: \[3 \sin x + 2\ln|\cos x| + 7 \ln|\sin x| + C\]

Ответ:

\[3 \sin x + 2\ln|\cos x| + 7 \ln|\sin x| + C\]

е) \(\int \frac{dx}{x^2+9}\)

• Шаг 1: Применяем табличный интеграл: \[\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a}) + C\]
• Шаг 2: В нашем случае \(a^2 = 9\), значит \(a = 3\) \[\frac{1}{3} \arctan(\frac{x}{3}) + C\]

Ответ:

\[\frac{1}{3} \arctan(\frac{x}{3}) + C\]