1. а) Сформулируйте понятие коллинеарных векторов; На рис.1 изображен параллелепипед. Выпишете: б) 5 векторов, противоположно направленных к ВА; в) 5 векторов, сонаправленных с В₁ М; г) 2 вектора, равных С₁ С. 2. Нарисуйте тетраэдр DABC. Изобразите на рисунке векторы: a) AB + BC; б) CD + BC ; в) DA – DC. 3. Скопируйте векторы с рис. 2 в тетрадь и постройте векторы: 1- а) а; 6) 36; в) 3 1- a+б; г) -26. 2 4. Перечислите свойства умножения вектора на число: сочета- тельное, первое и второе распределительные свойства. 5. Упростите выражения: а) FK + MQ + KP + AM + QK + PF ; 6) AC – BC + MP – АР+ BM; в) 4(m+n)-7(m-3n)+m. 6. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 (рис.1). Какие из трех следующих векторов компланарны: а) АА₁, СС₁, BB₁; б) AB, AD, АА₁; в) ВВ₁, AC, DD₁; г) AD, CC₁, А, В₁? 7. Выразите векторы AY, ХА, ХҮ на рис. 3 через векторы DA = a, 1 DB = b, DC = с, если известно, что У – середина DB, а DX = - DC.

1. Коллинеарные векторы и векторы на параллелепипеде

а) Коллинеарные векторы — это векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.

б) 5 векторов, противоположно направленных к \(\vec{BA}\): \(\vec{A_1D_1}\), \(\vec{CD}\), \(\vec{C_1D_1}\), \(\vec{D_1A_1}\), \(\vec{DC}\).

в) 5 векторов, сонаправленных с \(\vec{B_1M}\): \(\vec{B_1C_1}\), \(\vec{B_1B_1}\), \(\vec{CC_1}\), \(\vec{AA_1}\), \(\vec{DD_1}\).

г) 2 вектора, равных \(\vec{C_1C}\): \(\vec{A_1A}\), \(\vec{B_1B}\), \(\vec{D_1D}\).

2. Тетраэдр DABC

Для решения этой задачи нужно нарисовать тетраэдр DABC и изобразить на рисунке векторы, являющиеся результатом операций, указанных в задании.

• \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\)
• \(\vec{CD} + \vec{BC} = \vec{BD}\)
• \(\vec{DA} - \vec{DC} = \vec{CA}\)

3. Копирование и построение векторов

Нужно скопировать векторы с рисунка 2 в тетрадь и построить новые векторы, используя заданные операции.

• а) \(\frac{1}{3}\vec{a}\) — вектор, сонаправленный с \(\vec{a}\), но в три раза короче его.
• б) \(3\vec{b}\) — вектор, сонаправленный с \(\vec{b}\), но в три раза длиннее его.
• в) \(\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b}\) — вектор, полученный сложением половины вектора \(\vec{a}\) и вектора \(\vec{b}\).
• г) \(\vec{a} - 2\vec{b}\) — вектор, полученный вычитанием удвоенного вектора \(\vec{b}\) из вектора \(\vec{a}\).

4. Свойства умножения вектора на число

• Сочетательное свойство: \(\lambda(\mu\vec{a}) = (\lambda\mu)\vec{a}\)
• Первое распределительное свойство: \((\lambda + \mu)\vec{a} = \lambda\vec{a} + \mu\vec{a}\)
• Второе распределительное свойство: \(\lambda(\vec{a} + \vec{b}) = \lambda\vec{a} + \lambda\vec{b}\)

5. Упрощение выражений

а) \(\vec{FK} + \vec{MQ} + \vec{KP} + \vec{AM} + \vec{QK} + \vec{PF} = \vec{AM} + \vec{MQ} + \vec{QK} + \vec{KP} + \vec{PF} + \vec{FK} = \vec{AK} + \vec{PK} + \vec{PF} + \vec{FK} = \vec{AF} + \vec{AF} = \vec{0}\)

б) \(\vec{AC} - \vec{BC} + \vec{MP} - \vec{AP} + \vec{BM} = \vec{AC} + \vec{CB} + \vec{MP} + \vec{PA} + \vec{BM} = \vec{AB} + \vec{MA} + \vec{BM} = \vec{MB} + \vec{BM} = \vec{0}\)

в) \(4(\vec{m} + \vec{n}) - 7(\vec{m} - 3\vec{n}) + \vec{m} = 4\vec{m} + 4\vec{n} - 7\vec{m} + 21\vec{n} + \vec{m} = (4 - 7 + 1)\vec{m} + (4 + 21)\vec{n} = -2\vec{m} + 25\vec{n}\)

6. Компланарные векторы

Чтобы определить, какие из предложенных троек векторов компланарны, нужно проверить, можно ли выразить один из векторов через линейную комбинацию двух других.

а) Векторы \(\vec{AA_1}\), \(\vec{CC_1}\), \(\vec{BB_1}\) компланарны, так как все они параллельны одной прямой.

7. Выражение векторов через заданные векторы

Выразим векторы \(\vec{AY}\), \(\vec{XA}\), \(\vec{XY}\) через векторы \(\vec{DA} = \vec{a}\), \(\vec{DB} = \vec{b}\), \(\vec{DC} = \vec{c}\), зная, что Y — середина DB, а DX = \(\frac{1}{3}\)DC.

• \(\vec{AY} = \vec{AD} + \vec{DY} = -\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{DB} = -\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}\)
• \(\vec{XA} = \vec{XD} + \vec{DA} = -\frac{1}{3}\vec{DC} + \vec{DA} = -\frac{1}{3}\vec{c} + \vec{a}\)
• \(\vec{XY} = \vec{XD} + \vec{DY} = -\frac{1}{3}\vec{DC} + \frac{1}{2}\vec{DB} = -\frac{1}{3}\vec{c} + \frac{1}{2}\vec{b}\)