a) ∫(sinx+2√ x³+5lnx-3)dx

Краткое пояснение:

Чтобы решить данный интеграл, мы можем разбить его на сумму интегралов от каждой части подынтегральной функции, используя свойства линейности интеграла. Затем проинтегрируем каждую часть отдельно.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Применим свойство линейности интеграла, разбив исходный интеграл на сумму интегралов:
• $$ \int (\sin x + 2 \sqrt{x^3} + 5 \ln x - 3) dx = \int \sin x dx + \int 2 \sqrt{x^3} dx + \int 5 \ln x dx - \int 3 dx $$
2. Шаг 2: Вынесем константы за знак интеграла:
• $$ = \int \sin x dx + 2 \int x^{3/2} dx + 5 \int \ln x dx - 3 \int 1 dx $$
3. Шаг 3: Проинтегрируем каждую часть:
• Интеграл от $$ \sin x $$: $$ -\cos x $$
• Интеграл от $$ x^{3/2} $$: $$ \frac{x^{3/2 + 1}}{3/2 + 1} = \frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5} x^{5/2} $$
• Интеграл от $$ \ln x $$: $$ x \ln x - x $$ (это известный интеграл, который можно получить интегрированием по частям)
• Интеграл от $$ 1 $$: $$ x $$
4. Шаг 4: Соберем все части вместе, добавив константу интегрирования C:
• $$ = -\cos x + 2 \left( \frac{2}{5} x^{5/2} \right) + 5 (x \ln x - x) - 3x + C $$
• $$ = -\cos x + \frac{4}{5} x^{5/2} + 5x \ln x - 5x - 3x + C $$
• $$ = -\cos x + \frac{4}{5} x^{5/2} + 5x \ln x - 8x + C $$

Ответ: $$ -\cos x + \frac{4}{5} x^{5/2} + 5x \ln x - 8x + C $$