Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
a) Solve the system of inequalities: \(\begin{cases} x^2 - 3x + 4 < 0 \\ \frac{x^2 - 5x}{x+3} \geq 2 \end{cases}\)
Ответ:
Для решения этой системы неравенств, решим каждое неравенство по отдельности.
Первое неравенство:
\[x^2 - 3x + 4 < 0\]
Рассмотрим дискриминант квадратного трехчлена $$ax^2+bx+c$$. Здесь $$a=1, b=-3, c=4$$.
Дискриминант $$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7$$.
Так как дискриминант отрицательный ($$D < 0$$) и коэффициент при $$x^2$$ положительный ($$a=1 > 0$$), то парабола $$y=x^2-3x+4$$ всегда находится выше оси Ox. Это значит, что $$x^2 - 3x + 4$$ всегда больше нуля для любого действительного $$x$$.
Следовательно, неравенство $$x^2 - 3x + 4 < 0$$ не имеет решений.
Второе неравенство:
\[\frac{x^2 - 5x}{x+3} \geq 2\]
Перенесём всё в одну сторону, чтобы сравнить с нулём:
\[\frac{x^2 - 5x}{x+3} - 2 \geq 0\]
Приведём к общему знаменателю:
\[\frac{x^2 - 5x - 2(x+3)}{x+3} \geq 0\]
\[\frac{x^2 - 5x - 2x - 6}{x+3} \geq 0\]
\[\frac{x^2 - 7x - 6}{x+3} \geq 0\]
Теперь найдём корни числителя $$x^2 - 7x - 6 = 0$$.
Используем формулу для корней квадратного уравнения $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$.
$$D = (-7)^2 - 4(1)(-6) = 49 + 24 = 73$$.
$$x_1 = \frac{7 - \sqrt{73}}{2}$$ и $$x_2 = \frac{7 + \sqrt{73}}{2}$$.
Корень знаменателя: $$x+3=0 \implies x = -3$$.
Отметим эти точки на числовой прямой: $$-3$$, $$\frac{7 - \sqrt{73}}{2}$$ (приблизительно $$\frac{7-8.5}{2} \approx -0.75$$), $$\frac{7 + \sqrt{73}}{2}$$ (приблизительно $$\frac{7+8.5}{2} \approx 7.75$$).
Расставим знаки для интервалов:
* $$(-\infty, -3)$$: Возьмём $$x=-4$$. $$\frac{(-4)^2 - 7(-4) - 6}{-4+3} = \frac{16+28-6}{-1} = \frac{38}{-1} < 0$$.
* $$(-3, \frac{7 - \sqrt{73}}{2})$$: Возьмём $$x=-1$$. $$\frac{(-1)^2 - 7(-1) - 6}{-1+3} = \frac{1+7-6}{2} = \frac{2}{2} > 0$$.
* $$(\frac{7 - \sqrt{73}}{2}, \frac{7 + \sqrt{73}}{2})$$: Возьмём $$x=0$$. $$\frac{0^2 - 7(0) - 6}{0+3} = \frac{-6}{3} < 0$$.
* $$(\frac{7 + \sqrt{73}}{2}, \infty)$$: Возьмём $$x=8$$. $$\frac{8^2 - 7(8) - 6}{8+3} = \frac{64-56-6}{11} = \frac{2}{11} > 0$$.
Решением второго неравенства являются интервалы $$(-3, \frac{7 - \sqrt{73}}{2}] \cup [\frac{7 + \sqrt{73}}{2}, \infty)$$.
Объединяем решения:
Так как первое неравенство не имеет решений, то вся система неравенств не имеет решений.
Ответ: Система не имеет решений.
Первое неравенство:
\[x^2 - 3x + 4 < 0\]
Рассмотрим дискриминант квадратного трехчлена $$ax^2+bx+c$$. Здесь $$a=1, b=-3, c=4$$.
Дискриминант $$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7$$.
Так как дискриминант отрицательный ($$D < 0$$) и коэффициент при $$x^2$$ положительный ($$a=1 > 0$$), то парабола $$y=x^2-3x+4$$ всегда находится выше оси Ox. Это значит, что $$x^2 - 3x + 4$$ всегда больше нуля для любого действительного $$x$$.
Следовательно, неравенство $$x^2 - 3x + 4 < 0$$ не имеет решений.
Второе неравенство:
\[\frac{x^2 - 5x}{x+3} \geq 2\]
Перенесём всё в одну сторону, чтобы сравнить с нулём:
\[\frac{x^2 - 5x}{x+3} - 2 \geq 0\]
Приведём к общему знаменателю:
\[\frac{x^2 - 5x - 2(x+3)}{x+3} \geq 0\]
\[\frac{x^2 - 5x - 2x - 6}{x+3} \geq 0\]
\[\frac{x^2 - 7x - 6}{x+3} \geq 0\]
Теперь найдём корни числителя $$x^2 - 7x - 6 = 0$$.
Используем формулу для корней квадратного уравнения $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$.
$$D = (-7)^2 - 4(1)(-6) = 49 + 24 = 73$$.
$$x_1 = \frac{7 - \sqrt{73}}{2}$$ и $$x_2 = \frac{7 + \sqrt{73}}{2}$$.
Корень знаменателя: $$x+3=0 \implies x = -3$$.
Отметим эти точки на числовой прямой: $$-3$$, $$\frac{7 - \sqrt{73}}{2}$$ (приблизительно $$\frac{7-8.5}{2} \approx -0.75$$), $$\frac{7 + \sqrt{73}}{2}$$ (приблизительно $$\frac{7+8.5}{2} \approx 7.75$$).
Расставим знаки для интервалов:
* $$(-\infty, -3)$$: Возьмём $$x=-4$$. $$\frac{(-4)^2 - 7(-4) - 6}{-4+3} = \frac{16+28-6}{-1} = \frac{38}{-1} < 0$$.
* $$(-3, \frac{7 - \sqrt{73}}{2})$$: Возьмём $$x=-1$$. $$\frac{(-1)^2 - 7(-1) - 6}{-1+3} = \frac{1+7-6}{2} = \frac{2}{2} > 0$$.
* $$(\frac{7 - \sqrt{73}}{2}, \frac{7 + \sqrt{73}}{2})$$: Возьмём $$x=0$$. $$\frac{0^2 - 7(0) - 6}{0+3} = \frac{-6}{3} < 0$$.
* $$(\frac{7 + \sqrt{73}}{2}, \infty)$$: Возьмём $$x=8$$. $$\frac{8^2 - 7(8) - 6}{8+3} = \frac{64-56-6}{11} = \frac{2}{11} > 0$$.
Решением второго неравенства являются интервалы $$(-3, \frac{7 - \sqrt{73}}{2}] \cup [\frac{7 + \sqrt{73}}{2}, \infty)$$.
Объединяем решения:
Так как первое неравенство не имеет решений, то вся система неравенств не имеет решений.
Ответ: Система не имеет решений.
