А-9. С.Р. Метод интервалов. Вариант 1. (x - 1) (x - 3) > 0; (x + 9) (x + 1) (x – 11) > 0; (2x - 1) (x + 9) < 0; 6) (8-x) (4x + 9) ≤ 0; -(x - 1) (5 – x) (x + 20) > 0; x (x + 10) (x - 3) ≤ 0; x-3 x+7 <0; x+9 x-6 ≥ 0; 2x-10 x +8 < 0; 7 x 4x-10 ≤ 0; Решите неравенство (х-2)² < √3 (x-2). -16 Решите неравенство x²-6x-7 ≤ 0.

Привет! Давай разберем эти неравенства по порядку, и ты увидишь, что все не так сложно, как кажется на первый взгляд.

Решение неравенств методом интервалов

1. (x - 1) (x - 3) > 0

• Найдем нули функции: x - 1 = 0 и x - 3 = 0, следовательно, x = 1 и x = 3.
• Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале.

        +       -       +
------(1)-----(3)-------

Решение: x < 1 или x > 3.

2. (x + 9) (x + 1) (x – 11) > 0

• Нули функции: x = -9, x = -1, x = 11.
• Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки.

     -      +      -       +
----(-9)---(-1)----(11)-----

Решение: -9 < x < -1 или x > 11.

3. (2x - 1) (x + 9) < 0

• Нули функции: 2x - 1 = 0 ⇒ x = 0.5, x = -9.
• Определим знаки на интервалах.

     +       -       +
----(-9)---(0.5)------

Решение: -9 < x < 0.5.

4. (8 - x) (4x + 9) ≤ 0

• Нули функции: 8 - x = 0 ⇒ x = 8, 4x + 9 = 0 ⇒ x = -9/4 = -2.25.
• Определим знаки на интервалах.

     -       +       -
----(-2.25)---(8)------

Решение: x ≤ -2.25 или x ≥ 8.

5. -(x - 1) (5 – x) (x + 20) > 0

• Нули функции: x = 1, x = 5, x = -20.
• Определим знаки на интервалах (учитывая минус перед произведением).

     -       +       -       +
---(-20)----(1)----(5)-------

Решение: x < -20 или 1 < x < 5.

6. x (x + 10) (x - 3) ≤ 0

• Нули функции: x = 0, x = -10, x = 3.
• Определим знаки на интервалах.

    -       +       -       +
---(-10)----(0)----(3)-------

Решение: x ≤ -10 или 0 ≤ x ≤ 3.

7. (x - 3) / (x + 7) < 0

• Нули числителя: x = 3. Нули знаменателя: x = -7.
• Определим знаки на интервалах.

     +       -       +
----(-7)----(3)-------

Решение: -7 < x < 3.

8. (x + 9) / (x - 6) ≥ 0

• Нули числителя: x = -9. Нули знаменателя: x = 6.
• Определим знаки на интервалах.

     +       -       +
----(-9)----(6)-------

Решение: x ≤ -9 или x > 6.

9. (2x - 10) / (x + 8) < 0

• Нули числителя: 2x - 10 = 0 ⇒ x = 5. Нули знаменателя: x = -8.
• Определим знаки на интервалах.

     +       -       +
----(-8)----(5)-------

Решение: -8 < x < 5.

10. (7x) / (4x - 10) ≤ 0

• Нули числителя: x = 0. Нули знаменателя: 4x - 10 = 0 ⇒ x = 2.5.
• Определим знаки на интервалах.

     +       -       +
----(0)----(2.5)------

Решение: 0 ≤ x < 2.5.

Решение неравенств

1. (x - 2)² < √3 (x - 2)

Перенесем все в одну сторону: (x - 2)² - √3 (x - 2) < 0.

Вынесем (x - 2) за скобки: (x - 2) (x - 2 - √3) < 0.

• Найдем нули: x = 2, x = 2 + √3.
• Определим знаки на интервалах.

     +       -       +
----(2)----(2+√3)------

Решение: 2 < x < 2 + √3.

2. -16 / (x² - 6x - 7) ≤ 0

Знаменатель не должен быть равен нулю, и нужно, чтобы дробь была положительной (так как -16 отрицательное число).

x² - 6x - 7 > 0.

• Найдем корни квадратного уравнения x² - 6x - 7 = 0.
• D = (-6)² - 4 * 1 * (-7) = 36 + 28 = 64.
• x₁ = (6 + √64) / 2 = (6 + 8) / 2 = 7.
• x₂ = (6 - √64) / 2 = (6 - 8) / 2 = -1.

Разложим на множители: (x - 7) (x + 1) > 0.

• Определим знаки на интервалах.

     +       -       +
----(-1)----(7)-------

Решение: x < -1 или x > 7.

Ты проделал отличную работу, разбираясь с этими неравенствами! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!