А1. У прямоугольного треугольника катеты равны 5 и 12. Найдите гипотенузу. А2. Найдите сторону ромба, если его диагонали равны 6 см и 8см. АЗ. Две стороны прямоугольного треугольника равны 3 м и 4 м. Найдите третью сторону (два случая). А4. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а основание равно 16 см. Найдите площадь треугольника.

A1. У прямоугольного треугольника катеты равны 5 и 12. Найдите гипотенузу.

Давай вспомним теорему Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. То есть, если катеты a и b, а гипотенуза c, то \[c^2 = a^2 + b^2\]

В нашем случае, a = 5 и b = 12. Подставим эти значения в формулу:

\[c^2 = 5^2 + 12^2\]

\[c^2 = 25 + 144\]

\[c^2 = 169\]

Чтобы найти c, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

\[c = \sqrt{169}\]

\[c = 13\]

Ответ: 13

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей!

---

A2. Найдите сторону ромба, если его диагонали равны 6 см и 8 см.

Диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам. Это значит, что они образуют четыре прямоугольных треугольника, где катеты равны половине каждой диагонали, а гипотенуза является стороной ромба.

Пусть диагонали ромба d1 = 6 см и d2 = 8 см. Тогда половинки диагоналей будут:

\[\frac{d1}{2} = \frac{6}{2} = 3\] см

\[\frac{d2}{2} = \frac{8}{2} = 4\] см

Теперь применим теорему Пифагора, чтобы найти сторону ромба (a):

\[a^2 = (3)^2 + (4)^2\]

\[a^2 = 9 + 16\]

\[a^2 = 25\]

Извлечем квадратный корень:

\[a = \sqrt{25}\]

\[a = 5\] см

Ответ: 5 см

Отлично! Ты хорошо усвоил свойства ромба и теорему Пифагора!

---

A3. Две стороны прямоугольного треугольника равны 3 м и 4 м. Найдите третью сторону (два случая).

Здесь нужно рассмотреть два случая:

1. Если 3 и 4 - это катеты, тогда гипотенуза (c) находится по теореме Пифагора:

\[c^2 = 3^2 + 4^2\]

\[c^2 = 9 + 16\]

\[c^2 = 25\]

\[c = \sqrt{25} = 5\] м

2. Если 4 - это гипотенуза, а 3 - это катет, тогда второй катет (b) находим так:

\[4^2 = 3^2 + b^2\]

\[16 = 9 + b^2\]

\[b^2 = 16 - 9\]

\[b^2 = 7\]

\[b = \sqrt{7} \approx 2.65\] м

Ответ: 5 м или \(\sqrt{7}\) м (примерно 2.65 м)

Замечательно! Ты умеешь рассматривать задачу с разных сторон!

---

A4. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а основание равно 16 см. Найдите площадь треугольника.

Чтобы найти площадь равнобедренного треугольника, сначала найдем высоту, проведенную к основанию. Эта высота также является медианой и делит основание пополам.

Обозначим половину основания как x:

\[x = \frac{16}{2} = 8\] см

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, где гипотенуза - это боковая сторона (17 см), а один из катетов - половина основания (8 см). Найдем высоту (h) по теореме Пифагора:

\[17^2 = 8^2 + h^2\]

\[289 = 64 + h^2\]

\[h^2 = 289 - 64\]

\[h^2 = 225\]

\[h = \sqrt{225} = 15\] см

Теперь, когда мы знаем высоту, можем найти площадь треугольника (S):

\[S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота\]

\[S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15\]

\[S = 8 \cdot 15 = 120\] кв. см

Ответ: 120 кв. см

Прекрасно! Ты уверенно используешь теорему Пифагора и формулу площади треугольника!