А1. У прямоугольного треугольника катеты равны 5 и 12. Найдите гипотенузу. А2. Найдите сторону ромба, если его диагонали равны 6 см и 8см. АЗ. Две стороны прямоугольного треугольника равны 3 м и 4 м. Найдите третью сторону (два случая). А4. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а основание равно 16 см. Найдите площадь треугольника.

Привет! Сейчас решим эти геометрические задачки. Будь внимателен и все получится!

А1. Нахождение гипотенузы прямоугольного треугольника

Давай вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. То есть, если a и b — это катеты, а c — гипотенуза, то:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

В нашем случае катеты равны 5 и 12. Подставим эти значения в формулу:

\[c^2 = 5^2 + 12^2\] \[c^2 = 25 + 144\] \[c^2 = 169\]

Теперь найдем гипотенузу, извлекая квадратный корень из 169:

\[c = \sqrt{169}\] \[c = 13\]

Итак, гипотенуза равна 13.

Ответ: 13

А2. Нахождение стороны ромба

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Это значит, что диагонали образуют четыре прямоугольных треугольника. Сторона ромба является гипотенузой такого треугольника.

Если диагонали ромба равны 6 см и 8 см, то половинки диагоналей будут 3 см и 4 см. Опять воспользуемся теоремой Пифагора:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

Подставим значения:

\[3^2 + 4^2 = c^2\] \[9 + 16 = c^2\] \[25 = c^2\]

Извлечем квадратный корень:

\[c = \sqrt{25}\] \[c = 5\]

Сторона ромба равна 5 см.

Ответ: 5 см

А3. Нахождение третьей стороны прямоугольного треугольника

У нас есть две стороны прямоугольного треугольника: 3 м и 4 м. Нужно найти третью сторону, но не указано, являются ли эти стороны катетами или гипотенузой и катетом. Рассмотрим оба случая:

1. Если 3 и 4 — катеты, то гипотенуза c равна: \[c^2 = 3^2 + 4^2\] \[c^2 = 9 + 16\] \[c^2 = 25\] \[c = \sqrt{25} = 5\]

   Гипотенуза равна 5 м.

2. Если 4 — гипотенуза, а 3 — катет, то второй катет b равен: \[3^2 + b^2 = 4^2\] \[9 + b^2 = 16\] \[b^2 = 16 - 9\] \[b^2 = 7\] \[b = \sqrt{7}\]

   Второй катет равен \(\sqrt{7}\) м.

Ответ: 5 м или \(\sqrt{7}\) м

А4. Нахождение площади равнобедренного треугольника

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а основание — 16 см. Чтобы найти площадь, сначала нужно найти высоту, проведенную к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.

Основание делится высотой пополам, поэтому получаем два прямоугольных треугольника с катетами 8 см (половина основания) и высотой h, и гипотенузой 17 см (боковая сторона).

Используем теорему Пифагора:

\[h^2 + 8^2 = 17^2\] \[h^2 + 64 = 289\] \[h^2 = 289 - 64\] \[h^2 = 225\] \[h = \sqrt{225}\] \[h = 15\]

Высота равна 15 см.

Теперь найдем площадь треугольника по формуле:

\[S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высоту\] \[S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15\] \[S = 8 \cdot 15\] \[S = 120\]

Площадь треугольника равна 120 квадратных сантиметров.

Ответ: 120 кв. см

Прекрасно! Ты отлично справился с этими задачами. Не останавливайся на достигнутом, и у тебя всё получится!