а) Упростите: \(\dfrac{1}{(x-y)(x-3)}+\dfrac{1}{(y-3)(y-x)}+\dfrac{1}{(3-x)(3-y)}\). б) Упростите: \(\dfrac{1}{a(a+2)}+\dfrac{1}{(a+2)(a+4)}+\dfrac{1}{(a+4)(a+6)}+\dfrac{1}{(a+6)(a+8)}\).

а) Используем разложение на простые дроби:

\(\dfrac{1}{(x-y)(x-3)}=\dfrac{1}{x-y}\left(\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{y-3}\right)\),

\(\dfrac{1}{(y-3)(y-x)}=\dfrac{1}{x-y}\left(\dfrac{1}{y-3}-\dfrac{1}{x-y}\right)\) — нет; удобнее заметить, что \(y-x=-(x-y)\), \(3-x=-(x-3)\), \(3-y=-(y-3)\). Тогда сумма равна

\(\dfrac{1}{(x-y)(x-3)}-\dfrac{1}{(x-y)(y-3)}+\dfrac{1}{(x-3)(y-3)}\).

Первые две дроби: \(\dfrac{(y-3)-(x-3)}{(x-y)(x-3)(y-3)}=-\dfrac{1}{(x-3)(y-3)}\). При сложении с третьей дробью получаем \(0\).

Область допустимых значений: \(x\ne y\), \(x\ne3\), \(y\ne3\).

б) Применим тождество \(\dfrac{1}{u(u+2)}=\dfrac12\left(\dfrac1u-\dfrac1{u+2}\right)\):

\(\dfrac{1}{a(a+2)}=\dfrac12\left(\dfrac1a-\dfrac1{a+2}\right)\), и аналогично для остальных дробей. Сумма телескопируется:

\(\dfrac12\left(\dfrac1a-\dfrac1{a+2}+\dfrac1{a+2}-\dfrac1{a+4}+\dfrac1{a+4}-\dfrac1{a+6}+\dfrac1{a+6}-\dfrac1{a+8}\right)=\dfrac12\left(\dfrac1a-\dfrac1{a+8}\right)=\dfrac{4}{a(a+8)}\).

Ограничения: \(a\ne0,-2,-4,-6,-8\).

Ответ: а) 0; б) \(\dfrac{4}{a(a+8)}\).