3. А) В десятичной системе счисления имеется признак делимости на 11: «разность между суммами цифр некоторого числа, стоящих на четных местах и на нечетных местах этого числа должна делиться на 11». А существует ли аналогичный признак для делимости на некоторые числа D для планеты Тома. Укажите все такие числа. Б) Решите пункт 3.А) для планеты Джерри. В) Сможете ли Вы решить задачу в общем случае: для записи чисел в некоторой позиционной системе счисления используются n цифр, надо найди все числа D, для которых признак делимости на D формулируется исходя из остатка от деления на D разности между суммой цифр, расположенных на четных местах, и суммой цифр, расположенных на нечетных местах, заданного числа.

А) Для планеты Тома рассмотрим признак делимости на числа $$D$$. Признак делимости на 11 для десятичной системы счисления гласит: число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах, делится на 11. Пример: Число 918082 делится на 11, так как (9 + 8 + 8) - (1 + 0 + 2) = 25 - 3 = 22, а 22 делится на 11. Для планеты Тома, если $$D = 3$$, признак делимости будет следующим: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Пример: 123 делится на 3, так как 1 + 2 + 3 = 6, а 6 делится на 3. Б) Для планеты Джерри признак делимости будет другим. Например, если у Джерри используется двоичная система счисления, то $$D = 2$$. Число делится на 2, если его последняя цифра 0. В) В общем случае для позиционной системы счисления с основанием $$b$$ и числом $$D$$, признак делимости может быть сформулирован следующим образом: Пусть $$N$$ - число в системе счисления с основанием $$b$$, представленное в виде $$N = a_n a_{n-1} ... a_1 a_0$$, где $$a_i$$ - цифры числа. Тогда $$N = a_n b^n + a_{n-1} b^{n-1} + ... + a_1 b + a_0$$. Сумма цифр на четных местах: $$S_{чет} = a_0 + a_2 + a_4 + ...$$ Сумма цифр на нечетных местах: $$S_{нечет} = a_1 + a_3 + a_5 + ...$$ Разность между суммами: $$R = S_{чет} - S_{нечет}$$ Тогда, $$N$$ делится на $$D$$, если $$R$$ делится на $$D$$. **Ответ:** Признак делимости на $$D$$ зависит от системы счисления планеты и самого числа $$D$$. Для каждой системы счисления и числа $$D$$ нужно искать свой признак делимости.