A1. В кубе ABCDA, B, C, D, укажите плоскости, перпенди- кулярные прямой АВ. 1) ADC и А, В,С, 2) A,AD и В,ВC 3) A,AD и D,C,C 4) ВВС и А АВ А2. Точка О центр квадрата со стороной, равной 6 см, ОА - отрезок, перпендикулярный к плоскости квадрата и равный 3 см. Найдите расстояние от точки А до вершин квадрата. 1) 7 см 2) 5 см 3) 3√3 см 4) 4 см АЗ. Точка О удалена от вершин прямоугольного треуголь- ника АВС с катетами АВ = 8 см и АС = 15 см на расстояние √410 2 ABC. 1) 5,5 см 2) 8 см см. Найдите расстояние от точки О до плоскости 3) 9 см 4) 4 см В1. Через вершину А квадрата ABCD проведена прямая АМ, перпендикулярная плоскости ВСD. Найдите рас- стояния от точки М до вершин квадрата, если ВС = 12 см и АМ = 5 см. Ответ: В2. Через вершину А треугольника АВС проведена пло- скость а, параллельная ВС. Прямые ВВ, и СС, перпенди- кулярны плоскости а, В єа, С, є х. Найдите ВС, если CC₁ = 4, AC₁ = √209, AB₁ = √33, ∠BAC = 60°.

Давай решим это задание по геометрии по шагам. A1. В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) нужно указать плоскости, перпендикулярные прямой \(AB\). Прямая \(AB\) перпендикулярна плоскостям, содержащим ребра, перпендикулярные \(AB\). В данном случае, это плоскости \(A_1AD\) и \(B_1BC\). Ответ: 2) \(A_1AD\) и \(B_1BC\) A2. Точка \(O\) – центр квадрата со стороной 6 см, \(OA\) – отрезок, перпендикулярный плоскости квадрата, и равен 3 см. Нужно найти расстояние от точки \(A\) до вершин квадрата. Пусть \(A\) – одна из вершин квадрата, тогда расстояние от точки \(O\) до вершины квадрата равно половине диагонали квадрата. Диагональ квадрата \(d = a\sqrt{2}\), где \(a\) – сторона квадрата. Значит, \(d = 6\sqrt{2}\), и половина диагонали равна \(3\sqrt{2}\). Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезком \(OA\), половиной диагонали квадрата и расстоянием от точки \(A\) до вершины квадрата (назовем это расстояние \(x\)). По теореме Пифагора: \[x^2 = OA^2 + (3\sqrt{2})^2\]\[x^2 = 3^2 + (3\sqrt{2})^2\]\[x^2 = 9 + 18\]\[x^2 = 27\]\[x = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\] Ответ: 3) \(3\sqrt{3}\) см A3. Точка \(O\) удалена от вершин прямоугольного треугольника \(ABC\) с катетами \(AB = 8\) см и \(AC = 15\) см на расстояние \(\frac{\sqrt{410}}{2}\) см. Нужно найти расстояние от точки \(O\) до плоскости \(ABC\). Сначала найдем гипотенузу \(BC\) треугольника \(ABC\) по теореме Пифагора: \[BC^2 = AB^2 + AC^2\]\[BC^2 = 8^2 + 15^2\]\[BC^2 = 64 + 225\]\[BC^2 = 289\]\[BC = 17\] Так как точка \(O\) равноудалена от вершин треугольника, она проецируется в центр описанной окружности этого треугольника. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности находится на середине гипотенузы. Пусть эта точка будет \(M\). Тогда \(AM = BM = CM = \frac{BC}{2} = \frac{17}{2} = 8.5\). Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(OMA\), где \(OA = \frac{\sqrt{410}}{2}\) и \(AM = 8.5\). Пусть \(OM = h\) – расстояние от точки \(O\) до плоскости \(ABC\). По теореме Пифагора: \[OA^2 = OM^2 + AM^2\]\[(\frac{\sqrt{410}}{2})^2 = h^2 + (8.5)^2\]\[\frac{410}{4} = h^2 + 72.25\]\[102.5 = h^2 + 72.25\]\[h^2 = 102.5 - 72.25\]\[h^2 = 30.25\]\[h = \sqrt{30.25} = 5.5\] Ответ: 1) 5,5 см B1. Через вершину \(A\) квадрата \(ABCD\) проведена прямая \(AM\), перпендикулярная плоскости \(BCD\). Найти расстояние от точки \(M\) до вершин квадрата, если \(BC = 12\) см и \(AM = 5\) см. Так как \(AM\) перпендикулярна плоскости \(BCD\), то \(AM\) перпендикулярна любой прямой в этой плоскости. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(AMC\). \[MC^2 = AM^2 + AC^2\] Диагональ квадрата \(AC = BC\sqrt{2} = 12\sqrt{2}\). \[MC^2 = 5^2 + (12\sqrt{2})^2\]\[MC^2 = 25 + 144 \cdot 2\]\[MC^2 = 25 + 288\]\[MC^2 = 313\]\[MC = \sqrt{313}\] Так как квадрат, то \(MC = MB = MD\). Теперь найдем \(MA\):\[MA = 5\] Ответ: \(MA = 5\), \(MB = MC = MD = \sqrt{313}\) B2. Через вершину \(A\) треугольника \(ABC\) проведена плоскость \(\alpha\), параллельная \(BC\). Прямые \(BB_1\) и \(CC_1\) перпендикулярны плоскости \(\alpha\), \(B_1 \in \alpha\), \(C_1 \in \alpha\). Найти \(BC\), если \(CC_1 = 4\), \(AC_1 = \sqrt{209}\), \(AB_1 = \sqrt{33}\), \(\angle BAC = 60^\circ\). По теореме косинусов в треугольнике \(AB_1C_1\): \[B_1C_1^2 = AB_1^2 + AC_1^2 - 2 \cdot AB_1 \cdot AC_1 \cdot \cos(\angle B_1AC_1)\] Так как \(BB_1 \perp \alpha\) и \(CC_1 \perp \alpha\), то \(AB_1C_1\) проецируется в \(ABC\), и \(B_1C_1 = BC\). \[BC^2 = 33 + 209 - 2 \cdot \sqrt{33} \cdot \sqrt{209} \cdot \cos(60^\circ)\]\[BC^2 = 242 - \sqrt{33 \cdot 209} \]\[BC^2 = 242 - \sqrt{6897} \]\[BC^2 = 242 - \sqrt{9 \cdot 766.33} \approx 242 - 83.05\]\[BC^2 = 158.95\]\[BC \approx \sqrt{158.95} \approx 12.61\] Ответ: \(BC \approx 12.61\)

Ответ: смотри решение выше

Все получилось! Продолжай в том же духе, и ты освоишь геометрию на отлично! Удачи тебе в учебе!