110. а) В кубе ABCDABCD, найдите угол между плоскостями ВСС и АВ.С. 6) В правильной треугольной призме АВСА ВС, найдите угол между плоскостями АВС и АСС в) В правильной треугольной призме АВСА В С найдите угол между плоскостями АВВ И АСС. 111. а) В правильном тетраэдре ABCD середина ребра ВС. Найдите угол точка Е между плоскостями АВС и ADE, 6) В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD найдите угол между плоскостями АВС и SBD. B) B правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF найдите угол между плоскостями ABC и SAD, D

110. а)

В кубе ABCDABCD, плоскости BCC₁ и AB₁C₁ пересекаются по прямой B₁C₁. Рассмотрим сечение куба плоскостью, проходящей через точки B и D₁ и параллельной B₁C₁. Это будет прямоугольник BDD₁B₁. Угол между плоскостями BCC₁ и AB₁C₁ равен углу между B₁C₁ и плоскостью BDD₁B₁. Прямая B₁C₁ перпендикулярна DB₁, так как DB₁ является диагональю квадрата DBB₁D₁. Значит, угол между плоскостями равен углу DB₁C₁, который равен 45 градусам, т.к. DB₁C₁ – это половина угла между диагоналями квадрата.

Ответ: 45°

б)

В правильной треугольной призме ABC A₁B₁C₁, плоскости ABC и ACC₁ пересекаются по прямой AC. Чтобы найти угол между этими плоскостями, нужно провести перпендикуляр из точки B к прямой AC (пусть это будет точка D) и перпендикуляр из точки B₁ к прямой AC (точка D будет той же самой). Тогда угол между плоскостями ABC и ACC₁ будет равен углу BDB₁. Поскольку призма правильная, BD перпендикулярно AC, и B₁D перпендикулярно AC. Следовательно, угол BDB₁ - искомый угол. Так как призма правильная, ABB₁A₁ - прямоугольник, и угол BAB₁ равен 90°. Угол BDB₁ равен 90°.

Ответ: 90°

в)

В правильной треугольной призме ABC A₁B₁C₁, плоскости ABB₁ и ACC₁ пересекаются по прямой AA₁. Найдем угол между этими плоскостями. Проведем BD перпендикулярно AA₁ и CD перпендикулярно AA₁. Искомый угол BDC. Пусть сторона основания равна a, а высота призмы равна h. BDC = 90°

Ответ: 90°

111. а)

В правильном тетраэдре ABCD, точка E - середина ребра BC. Найдем угол между плоскостями ABC и ADE. Плоскости ABC и ADE пересекаются по прямой AE. В правильном тетраэдре все грани - правильные треугольники. Высота DE в треугольнике BCD является медианой и биссектрисой. Аналогично, высота AE в треугольнике ABC является медианой и биссектрисой. Угол между плоскостями ABC и ADE равен углу между DE и AE. Так как ADE и ABC правильные, то угол DEA равен 90°.

Ответ: 90°

б)

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD найдем угол между плоскостями ABC и SBD. Плоскости ABC и SBD пересекаются по прямой BD. Так как пирамида правильная, основание ABCD - квадрат. Высота SO падает в центр квадрата. В плоскости SBD SO перпендикулярна BD. В плоскости ABC AC перпендикулярна BD. Угол между плоскостями ABC и SBD равен углу между SO и AC, который равен 90°.

Ответ: 90°

в)

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF найдем угол между плоскостями ABC и SAD. Плоскости ABC и SAD пересекаются по прямой AD. Пусть O - центр шестиугольника. SO - высота пирамиды. В плоскости SAD SO перпендикулярна AD. В плоскости ABC OC перпендикулярна AD. Угол между плоскостями ABC и SAD равен углу между SO и OC, который равен 90°.

Ответ: 90°

Ответ: [45°, 90°, 90°, 90°, 90°, 90°]