403. а) В треугольнике ABC AB=13, BC=14, AC = 15. Найдите его площадь. 14 б) В треугольнике ABC AB=13, BC = 20, AC = 21. Найдите его площадь. = 126 в) В треугольнике ABC AB=17, BC = 25, AC = 28. Найдите его площадь. - г) В треугольнике ABC AB=10, BC =17, AC = 21. Найдите его площадь. = 84 404. На стороне AC треугольника ABC отмечена точка P. Площадь треугольника ABC равна Найдите площадь треугольника BCP, если: a) S=24, AP=6, PC = 10; в) S=51, AP 6 PC 11 б) S=52, AP=11, PC = 2; г) S = 42, AP 8 PC 13 405. а) В треугольнике ABC отрезок MN является средней линией, парал- лельной стороне AC. Площадь треугольника ABC равна 124. Найдите площадь треугольника MBN. б) В треугольнике ABC отрезок MN является средней линией, парал- лельной стороне AC. Площадь треугольника MBN равна 23. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение 403

Для решения задач на нахождение площади треугольника по трем сторонам, мы будем использовать формулу Герона:

\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

где \( p \) - полупериметр треугольника, а \( a, b, c \) - длины сторон треугольника.

a)

Дано: \( AB = 13, BC = 14, AC = 15 \)

Сначала найдем полупериметр \( p \):

\[p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21\]

Теперь подставим значение полупериметра и сторон в формулу Герона:

\[S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 2^3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84\]

Ответ: \( S = 84 \)

б)

Дано: \( AB = 13, BC = 20, AC = 21 \)

Сначала найдем полупериметр \( p \):

\[p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 20 + 21}{2} = \frac{54}{2} = 27\]

Теперь подставим значение полупериметра и сторон в формулу Герона:

\[S = \sqrt{27(27-13)(27-20)(27-21)} = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{3^3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^2 \cdot 3^4 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 2 \cdot 9 \cdot 7 = 126\]

Ответ: \( S = 126 \)

в)

Дано: \( AB = 17, BC = 25, AC = 28 \)

Сначала найдем полупериметр \( p \):

\[p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{17 + 25 + 28}{2} = \frac{70}{2} = 35\]

Теперь подставим значение полупериметра и сторон в формулу Герона:

\[S = \sqrt{35(35-17)(35-25)(35-28)} = \sqrt{35 \cdot 18 \cdot 10 \cdot 7} = \sqrt{5 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3^2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210\]

Ответ: \( S = 210 \)

г)

Дано: \( AB = 10, BC = 17, AC = 21 \)

Сначала найдем полупериметр \( p \):

\[p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{10 + 17 + 21}{2} = \frac{48}{2} = 24\]

Теперь подставим значение полупериметра и сторон в формулу Герона:

\[S = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{2^3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84\]

Ответ: \( S = 84 \)

Решение 404

Для решения этих задач мы будем использовать свойство площадей подобных треугольников и отношение оснований.

Если у двух треугольников общая высота, то отношение их площадей равно отношению их оснований.

a)

Дано: \( S_{ABC} = 24, AP = 6, PC = 10 \)

Отношение \( \frac{PC}{AC} = \frac{PC}{AP + PC} = \frac{10}{6 + 10} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8} \)

Тогда площадь треугольника \( BCP \) будет:

\[S_{BCP} = S_{ABC} \cdot \frac{PC}{AC} = 24 \cdot \frac{5}{8} = 3 \cdot 5 = 15\]

Ответ: \( S_{BCP} = 15 \)

б)

Дано: \( S_{ABC} = 52, AP = 11, PC = 2 \)

Отношение \( \frac{PC}{AC} = \frac{PC}{AP + PC} = \frac{2}{11 + 2} = \frac{2}{13} \)

Тогда площадь треугольника \( BCP \) будет:

\[S_{BCP} = S_{ABC} \cdot \frac{PC}{AC} = 52 \cdot \frac{2}{13} = 4 \cdot 2 = 8\]

Ответ: \( S_{BCP} = 8 \)

в)

Дано: \( S_{ABC} = 51, \frac{AP}{PC} = \frac{6}{11} \)

Отношение \( \frac{PC}{AC} = \frac{PC}{AP + PC} = \frac{11}{6 + 11} = \frac{11}{17} \)

Тогда площадь треугольника \( BCP \) будет:

\[S_{BCP} = S_{ABC} \cdot \frac{PC}{AC} = 51 \cdot \frac{11}{17} = 3 \cdot 11 = 33\]

Ответ: \( S_{BCP} = 33 \)

г)

Дано: \( S_{ABC} = 42, \frac{AP}{PC} = \frac{8}{13} \)

Отношение \( \frac{PC}{AC} = \frac{PC}{AP + PC} = \frac{13}{8 + 13} = \frac{13}{21} \)

Тогда площадь треугольника \( BCP \) будет:

\[S_{BCP} = S_{ABC} \cdot \frac{PC}{AC} = 42 \cdot \frac{13}{21} = 2 \cdot 13 = 26\]

Ответ: \( S_{BCP} = 26 \)

Решение 405

Поскольку отрезок MN является средней линией треугольника ABC и параллелен стороне AC, то треугольник MBN подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия \( k = \frac{1}{2} \).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\[\frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = k^2\]

a)

Дано: \( S_{ABC} = 124 \)

Тогда площадь треугольника MBN будет:

\[S_{MBN} = S_{ABC} \cdot k^2 = 124 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 124 \cdot \frac{1}{4} = 31\]

Ответ: \( S_{MBN} = 31 \)

б)

Дано: \( S_{MBN} = 23 \)

Тогда площадь треугольника ABC будет:

\[S_{ABC} = \frac{S_{MBN}}{k^2} = \frac{23}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{23}{\frac{1}{4}} = 23 \cdot 4 = 92\]

Ответ: \( S_{ABC} = 92 \)

Ответ: 84, 126, 210, 84; 15, 8, 33, 26; 31, 92

У тебя отлично получается! Продолжай в том же духе, и ты сможешь решить любую задачу!