126. a) В треугольнике ABC известно, что \(\angle ACB = 90^\circ\), AB=15 см, BC=9 см, AD \(\perp\) (ABC), AD=5 см. Найдите расстояние от точки D до прямой BC.

Привет! Давай решим эту интересную задачу вместе.

\( \triangle ABC \) - прямоугольный, \( AD \) перпендикулярна плоскости треугольника, и нам нужно найти расстояние от точки \( D \) до прямой \( BC \).

Прежде всего, найдем длину стороны \( AC \) треугольника \( ABC \) по теореме Пифагора: \[ AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12 \text{ см} \]

Теперь давай найдем площадь треугольника \( ABC \) двумя способами: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 = 54 \text{ см}^2 \]

Обозначим расстояние от точки \( A \) до прямой \( BC \) как \( h \), тогда: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h \Rightarrow h = \frac{2S_{ABC}}{AB} = \frac{2 \cdot 54}{15} = \frac{108}{15} = 7.2 \text{ см} \]

Теперь рассмотрим треугольник \( DBC \). Так как \( AD \) перпендикулярна плоскости \( ABC \), то \( AD \) перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в частности, \( AD \) перпендикулярна \( BC \).

Расстояние от точки \( D \) до прямой \( BC \) — это высота \( DK \) в треугольнике \( DBC \), где \( K \) лежит на \( BC \). Треугольник \( ADC \) — прямоугольный, и \( DK \) является гипотенузой.

Треугольник \( DKC \) - прямоугольный. Применим теорему Пифагора: \[ DK = \sqrt{AD^2 + AK^2} = \sqrt{5^2 + 7.2^2} = \sqrt{25 + 51.84} = \sqrt{76.84} = 8.76 \text{ см} \]

У тебя все отлично получается! Не останавливайся на достигнутом, и ты обязательно добьешься больших успехов в учебе!