356. а) В треугольнике АВС проведена медиана ВК. Известно, что АВ=ВС. Найдите АС, если AB = 50, a BK=14. б) В треугольнике АВС проведена биссектриса ВК. Известно, что АВ=ВС. Найдите ВК, если АВ = 30, a AC = 36. в) В треугольнике АВС проведена высота ВК. Известно, что АВ=ВС. Найдите АС, если AB = 20, a BK=16. г) В треугольнике АВС проведена медиана ВК. Известно, что АВ = ВС. Найдите ВК, если AB = 29, a AC = 40.

356. a)

1. Так как ВК – медиана, то AK = KC = \(\frac{AC}{2}\). Пусть AC = x.
2. В треугольнике ABK по теореме косинусов: \[BK^2 = AB^2 + AK^2 - 2 \cdot AB \cdot AK \cdot cosA\]
3. В треугольнике ABC по теореме косинусов: \[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cosA\] Т.к. AB = BC, то \[AC^2 = 2AB^2 - 2AB^2 \cdot cosA\] Отсюда, \[cosA = \frac{2AB^2 - AC^2}{2AB^2}\]
4. Подставим cosA в первое уравнение: \[BK^2 = AB^2 + \frac{AC^2}{4} - 2AB \cdot \frac{AC}{2} \cdot \frac{2AB^2 - AC^2}{2AB^2}\] \[14^2 = 50^2 + \frac{x^2}{4} - \frac{2 \cdot 50^2 - x^2}{2 \cdot 50} \cdot x\] \[196 = 2500 + \frac{x^2}{4} - \frac{2 \cdot 2500 - x^2}{100} \cdot x\] \[196 = 2500 + \frac{x^2}{4} - x + \frac{x^3}{100}\] Решив уравнение, получаем x ≈ 96.

Ответ: AC ≈ 96

356. б)

• По свойству биссектрисы, \(\frac{AK}{KC} = \frac{AB}{BC}\). Так как AB = BC, то AK = KC. Значит, AK = KC = \(\frac{AC}{2}\) = 18.
• В треугольнике ABK по теореме косинусов: \[BK^2 = AB^2 + AK^2 - 2 \cdot AB \cdot AK \cdot cosA\]
• В треугольнике ABC по теореме косинусов: \[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cosA\] \( 36^2 = 30^2 + 30^2 - 2 \cdot 30 \cdot 30 \cdot cosA \) \( 1296 = 1800 - 1800 \cdot cosA \) \( cosA = \frac{1800 - 1296}{1800} = \frac{504}{1800} = 0.28 \)
• Подставляем в первое уравнение: \[BK^2 = 30^2 + 18^2 - 2 \cdot 30 \cdot 18 \cdot 0.28\] \[BK^2 = 900 + 324 - 302.4\] \[BK^2 = 921.6\] \[BK = \sqrt{921.6} ≈ 30.36\)

Ответ: BK ≈ 30.36

356. в)

1. Так как BK - высота и AB = BC, то BK является и медианой, следовательно, AK = KC.
2. В треугольнике ABK по теореме Пифагора: \[AK^2 = AB^2 - BK^2\] \[AK^2 = 20^2 - 16^2 = 400 - 256 = 144\] \[AK = \sqrt{144} = 12\]
3. AC = 2 * AK = 2 * 12 = 24

Ответ: AC = 24

356. г)

1. В треугольнике ABK по теореме косинусов: \[BK^2 = AB^2 + AK^2 - 2 \cdot AB \cdot AK \cdot cosA\]
2. В треугольнике ABC по теореме косинусов: \[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot cosA\] Так как AB=BC, то \[AB^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot cosA\] \[0 = AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot cosA\] \[cosA = \frac{AC}{2AB} = \frac{40}{2 \cdot 29} = \frac{20}{29}\]
3. Так как AK = \(\frac{AC}{2}\) = 20, то подставляем в первое уравнение: \[BK^2 = 29^2 + 20^2 - 2 \cdot 29 \cdot 20 \cdot \frac{20}{29}\] \[BK^2 = 841 + 400 - 800\] \[BK^2 = 441\] \[BK = \sqrt{441} = 21\]

Ответ: BK = 21